河北省邯郸市2022届高考数学二模试卷

试卷更新日期：2022-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 6 x - 7 \leq 0}$ ， $B = {x | | x - 3 | > 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 1 ， 2) ∪ (4 ， 7]$ B、[—1，7] C、 $(- 1 ， 2) ∪ (4 ， 7)$ D、（2，4）

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2. 已知 $z (2 + i) = 3 + i$ ，则|z|＝（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 在 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3})$ 上的值域为（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， 0)$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ D、 $[- 1 ， 1]$

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4. 甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方．游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为1，3，乙手中的两张纸牌数字分别为2，4．则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{8}$

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5. 在我国古代著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人与下三人等，问各得几何？”意思是有五个人分五钱，这五人分得的钱数从多到少成等差数列，且得钱最多的两个人的钱数之和与另外三个人的钱数之和相等，问每个人分别分得多少钱．则这个等差数列的公差d＝（）

A、－ $\frac{1}{6}$ B、－ $\frac{1}{5}$ C、－ $\frac{1}{4}$ D、－ $\frac{1}{3}$

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6. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{b} - \vec{a}$ 夹角的余弦值为（）.

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{9}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{16}$ D、 $\frac{3 \sqrt{30}}{20}$

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点A在C上，点B满足 $\vec{O B} = 5 \vec{O F}$ （O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则 $\frac{| A B |}{| A F |}$ ＝（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) l n x$ ，且 $a = f (\frac{2}{3})$ ， $b = f (\frac{4}{5})$ ， $c = f (\sqrt{e})$ ，则（）.

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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二、多选题

9. 下列各式的值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）.

A、sin $\frac{17 π}{6}$ B、sin $\frac{π}{12}$ cos $\frac{π}{12}$ C、 $c o s^{2} \frac{π}{12} - s i n^{2} \frac{π}{12}$ D、 $\frac{t a n \frac{π}{8}}{1 - t a n^{2} \frac{π}{8}}$

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10. 如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（）

A、A与B B、D与E C、B与D D、C与F

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11. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，若 $f (x + 4) = f (x)$ 且 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + ⋯ + f (n)$ $(n \in N^{*}$ )的值可能为（）

A、－2 B、0 C、2 D、4

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12. 已知P是圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，点Q(1，0)，以P为圆心，PQ为半径作圆P，设圆P与圆O相交于A，B两点．则下列选项正确的是（）

A、当P点坐标为(2，0)时，圆P的面积最小 B、直线AB过定点 C、点Q到直线AB的距离为定值 D、 $\frac{\sqrt{15}}{2} \leq | A B | \leq 4$

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三、填空题

13. ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．（用数字作答）

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14. 若双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线与直线 $x + \sqrt{2} y - 1 = 0$ 平行，则C的离心率为．

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15. 已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，其内切球的半径为1，则此三棱锥的高为．

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16. 已知点P为曲线 $y = \frac{l n x}{e}$ 上的动点，O为坐标原点．当 $| O P |$ 最小时，直线OP恰好与曲线 $y = a l n x$ 相切，则实数a＝．

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四、解答题

17. 已知等比数列{ $a_{n}$ }的公比 $q \neq 1$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $2 a_{1} + a_{3} = 3 a_{2}$ ．

(1)、求数列{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、设数列{ $a_{n}$ }的前n项和为 $S_{n}$ ，求数列{ $\frac{n}{S_{n} + 2}$ }的前n项和．

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18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，且 $s i n ∠ B A D = 2 s i n ∠ C A D$ ．

(1)、若 $A D = b = 2$ ， $c o s ∠ B A D = \frac{1}{4}$ ，且∠CAD为锐角，求CD的长；

(2)、若 $B D = C D$ ，求 $\frac{b}{c}$ 的值．

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19. 如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等腰直角三角形，且 $A B = A C = 2$ ， △ABP是正三角形．

(1)、若 $P C = B C$ ，求证：平面ABP⊥平面ABC；

(2)、若直线PC与平面ABC所成角为 $\frac{π}{4}$ ，求二面角 $P - A B - C$ 的余弦值．

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20. 已知甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制，即两人中先胜三局的人赢得这场比赛，比赛结束．已知第一局比赛甲获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，且每一局的胜者，在接下来一局获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ．

(1)、求两人打完三局恰好结束比赛的概率；

(2)、设比赛结束时总的比赛局数为随机变量X，求X的数学期望 $E (X)$ ．

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21. 已知点P（2， $\frac{5}{3}$ ）为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．

(1)、求C的标准方程；

(2)、过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明 $： \frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}} - a l n x$ ， $a \neq 0$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{e}$ ，分析f（x）的单调性；

(2)、若f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．

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