河北省沧州市2022届高三数学第二次模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | - 2 < x < \sqrt{6}}$ ， $Q = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 $[- 1 ， \sqrt{6})$

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2. 设 $z i = 3 - 2 \bar{z}$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率 $e$ 是它的一条渐近线斜率的2倍，则 $e =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 若 $s i n α + 2 c o s α = 0$ ，则 $s i n^{2} α - s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、0 C、1 D、 $\frac{8}{5}$

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5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若 $A B ， C D$ 都是直角圆锥 $S O$ 底面圆的直径，且 $∠ A O D = \frac{π}{3}$ ，则异面直线 $S A$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. ${(x - \frac{2}{x} - 1)}^{5}$ 的展开式中的常数项为（）

A、-81 B、-80 C、80 D、161

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7. 将函数 $f (x) = c o s 2 x + s i n 2 x$ 图象上的点 $P (0 ， t)$ 向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度得到点 $P^{'}$ ，若 $P^{'}$ 恰好在函数 $g (x) = c o s 2 x - s i n 2 x$ 的图像上，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，且在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (1 - x) > f (x + 3)$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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二、多选题

9. 某车间加工某种机器的零件数 $x$ 与加工这些零件所花费的时间 $y$ 之间的对应数据如下表所示：
$x /$ 个
10
20
30
40
50
$y / m i n$
62
68
75
81
89
由表中的数据可得回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + 54.9$ ，则以下结论正确的有（）

A、相关系数 $r > 0$ B、 $\hat{b} = 0.67$ C、零件数 $10 ， 20 ， 30 ， 40 ， 50$ 的中位数是30 D、若加工60个零件，则加工时间一定是 $95.1 m i n$

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10. 已知直线 $l ： a x + b y - 2 = 0$ ，圆 $C ： (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 2$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $a - b = 1$ ，则直线 $l$ 恒过定点 $(2 ， - 2)$ B、若 $a = b$ ，则圆 $C$ 可能过点 $(0 ， 3)$ C、若 $a^{2} + b^{2} = 2$ ，则圆 $C$ 关于直线 $l$ 对称 D、若 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 相交所得的弦长为2

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 2} = (- 1)^{n + 1} (a_{n} - n) + n$ ，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{48} + a_{50} = 100$ B、 $a_{50} - a_{46} = 4$ C、 $S_{48} = 600$ D、 $S_{49} = 601$

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12. 已知实数 $a ， b$ 满足 $e^{a} + e^{b} = e^{a + b}$ ，则（）

A、 $a b < 0$ B、 $a + b > 1$ C、 $e^{a} + e^{b} ⩾ 4$ D、 $b e^{a} > 1$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ∥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ .

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14. 若直线 $x - y - b = 0$ 是曲线 $y = 2 \sqrt{x}$ 的一条切线，则实数 $b =$ .

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方），过 $A ， B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $M ， N$ ，连接 $M F ， N F$ .若 $| M F | = \sqrt{3} | N F |$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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16. 三棱锥 $S - B C D$ 的平面展开图如图所示，已知 $A D ⊥ B D ， B C ⊥ B D ， A B = C F = 4 ， A D = B C = 2$ ，若三棱锥 $S - B C D$ 的四个顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积为.

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四、解答题

17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1 ， S_{3} = 7$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} (1 + S_{n}) \cdot l o g_{2} (1 + S_{n + 1})}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中；内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $b (2 s i n A - \sqrt{3} c o s A) = a s i n B$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的最大值.

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19. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $D A ⊥ D B$ ，侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 是矩形， $A B = 2 A D = \sqrt{2} A A_{1} ， M$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $D_{1} A ⊥ B M$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、点 $N$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，若 $A_{1} C_{1} = 4 A_{1} N$ ，求二面角 $M - D B - N$ 的余弦值.

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20. 足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2：0，则不需要再踢第5轮了）；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.

(1)、假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有 $\frac{1}{2}$ 的可能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的个数 $X$ 的分布列和期望：

(2)、现有甲､乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”来决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，乙队每名队员射进点球的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球（不含常规赛和加时赛进球）并胜出的概率；
（ii）求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5：4（不含常规赛和加时赛得分）胜出的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x l n x - a}{x} ， a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $x f (x) + e^{- x} > - a$ .

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $A (2 ， \frac{\sqrt{2}}{2} b)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为点B，与直线AB平行的直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $M ， N$ ，直线 $A M$ 与 $B N$ 交于点P，点P是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

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$x /$ 个	10	20	30	40	50
$y / m i n$	62	68	75	81	89