广东省2022届高三数学模拟押题卷（三）

试卷更新日期：2022-06-15 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $z_{1} ， z_{2}$ 为复数， $\bar{z_{1}} ， \bar{z_{2}}$ 分别是 $z_{1} ， z_{2}$ 的共轭复数，满足 $z_{1} \cdot z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ ，则下列一定成立的是（）

A、 $z_{1} = z_{2}$ B、 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ C、 $z_{2} = 0$ D、 $z_{2} = \bar{z_{2}}$

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2. 设 $a \in R$ ，则“ $a < 1$ ”是“ $a^{2} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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3. 已知集合 $A = {(x ， y) | \frac{y - 2}{x - 1} = 1}$ ，集合 $B = {(x ， y) | a x + y - 2 - a = 0}$ ， $A ∩ B = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a = - 1$ B、 $a \in R$ 且 $a \neq 1$ C、 $a \in R$ 且 $a \neq - 1$ D、 $a \in R$ 且 $a \neq 1$ 且 $a \neq - 1$

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4. 已知 $(1 ， 2)$ 为角 $α$ 终边上一点，关于 $x$ 的函数 $f (x) = c o s 2 x c o s α - s i n 2 x s i n α$ 有对称轴 $x = m$ ，则 $t a n 2 m =$ （）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 等腰 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = 30 ° ， A B = 1$ ， D为线段 $A B$ 上的动点，过D作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于E．过D作 $D F ⊥ B C$ 交 $B C$ 于F，则 $| 2 \vec{B F} + \vec{D E} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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6. 甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{11}{30}$ D、 $\frac{3}{10}$

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7. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B = A C = 2$ ， $△ P A C$ 为正三角形，且二面角 $P - A C - B$ 的平面角为 $\frac{π}{6}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为（）

A、 $\frac{52}{9} π$ B、 $\frac{4}{9} π$ C、 $\frac{28}{3} π$ D、 $\frac{32}{9} π$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点为F，左顶点为A，过F的直线交双曲线C于P、Q两点，连接 $A P$ 、 $A Q$ ，分别与直线 $x = m$ 交于M、N两点，若 $M F ⊥ N F$ ，则 $m =$ （）

A、21 B、9 C、21或 $\frac{9}{5}$ D、21或9

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二、多选题

9. 某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，渗透流失，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量， $24 h$ 降雨量的等级划分如下：
等级
$24 h$ 降雨量（ $m m$ ）
小雨
$(0 ， 10)$
中雨
$[10 ， 25)$
大雨
$[25 ， 50)$
暴雨
$[50 ， 100)$
大暴雨
$[100 ， 250)$
特大暴雨
$[250 ， + \infty)$
在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为 $50 c m$ ，瓶口高度为 $3 c m$ ）收集雨水，降雨结束后，容器内雨水的高度可能是（）

A、 $20 m m$ B、 $22 m m$ C、 $25 m m$ D、 $28 m m$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n} + a_{n - 1} = n^{2} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ， $S_{n}$ 为其前n项和，则（）

A、 $a_{4} - a_{2} = 7$ B、 $a_{10} = 55$ C、 $S_{5} = 35$ D、 $a_{8} + a_{4} = 28$

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11. 已知 $x^{2} + y^{2} = 4 (x y \neq 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| x + y | \leq 2 \sqrt{2}$ B、 $| x y | \leq 2$ C、 $l o g_{2} | x | + l o g_{2} | y | < \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{| x |} + \frac{1}{| y |} > \sqrt{2}$

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12. 已知 $f (x) = (a^{2} - 1) e^{x - 1} - \frac{1}{2} x^{2}$ ，若不等式 $f (\frac{1}{l n x}) > f (\frac{1}{x - 1})$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，则a的值可以为（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、-1 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知 $f (x) = \frac{l n x}{x^{2}} + 1$ ，则曲线在 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为．

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14. 关于 $x$ 的因式 ${(x + \frac{a}{x})}^{4} (1 - \frac{1}{x^{2}})$ 的展开式中 $x^{- 2}$ 项的系数为-10，则常数项为．

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点 $F (1 ， 0)$ ，过点F作互相垂直的两条弦 $A B ， C D$ ，两条弦 $A B$ 、 $C D$ 的中点分别为M，N，直线 $M N$ 与x轴交于点E．当 $A B$ 的斜率为 $\sqrt{2}$ 时， $△ M F E$ 的面积为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 2) = f (x + 2) ， 0 \leq x < 4$ 时， $f (x) = \sqrt{4 - (x - 2)^{2}}$ ， $g (x) = f (x) - k_{n} x (n \in N^{*} ， k_{n} > 0)$ ．若函数 $g (x)$ 的图像与x轴恰好有 $2 n + 1$ 个不同的交点，则 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + k_{n}^{2} =$ ．

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四、解答题

17. 从① $B = \frac{π}{3}$ ；② $s i n A + s i n C = \sqrt{6} s i n A s i n C$ ；③ $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$ 中任选两个作为条件，另一个作为（1）小题证明的结论．
已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b = 3 \sqrt{2}$ ， ____．

(1)、证明：____________；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．
注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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18. 定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如 ${1 ， 5}$ 的一阶和数列是 ${1 ， 6 ， 5}$ ，设它的n阶和数列各项和为 $S_{n}$ ．

(1)、试求 ${1 ， 5}$ 的二阶和数列各项和 $S_{2}$ 与三阶和数列各项和 $S_{3}$ ，并猜想 $S_{n}$ 的通项公式（无需证明）；

(2)、若 $c_{n} = - \frac{1}{l o g_{3} (S_{n} - 3) \cdot l o g 3 (S_{n + 1} - 3)}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，并证明： $- \frac{1}{2} < T_{n} \leq - \frac{1}{6}$ ．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是等腰梯形， $A D / / B C ， A B = C D ， B C = 2 A D ， ∠ A B C = 60 °$ ， E是棱 $P B$ 的中点，F是棱 $P C$ 上的点，且A，D，E，F四点共面．

(1)、求证：F为 $P C$ 的中点；

(2)、若 $△ P A D$ 为等边三角形，二面角 $P - A D - B$ 的大小为 $120 °$ ，求直线 $B D$ 与平面 $A D F E$ 所成角的正弦值．

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20. 近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．
参考数据：其中 $v_{i} = l g y_{i} ， \bar{v} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} v_{i}$ ，
$\bar{v}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} v_{i}$
$1 0^{0.84}$
1.84
58.55
6.9

(1)、请根据散点图判断，以下两个函数模型 $y = a + b x$ 与 $y = c \cdot d^{x}$ （c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)、根据（1）的判断结果及下表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的人次．

(3)、已知此楼盘第一天共有10套房源进行销售，其中6套正价房，4套特价房，设第一天卖出的4套房中特价房的数量为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列与数学期望．

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21. 平面直角坐标系内有一定点 $F (- 1 ， 0)$ ，定直线 $l ： x = - 5$ ，设动点P到定直线的距离为d，且满足 $\frac{| P F |}{d} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求动点P的轨迹方程；

(2)、直线 $m ： y = k x - 3$ 过定点Q，与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，动点P的轨迹与y的负半轴交于A点，直线 $A M ， A N$ 分别交直线 $y = - 3$ 于点H、K，若 $| Q H | + | Q K | \leq 35$ ，求k的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x - 1) - m x (m \in R) ， g (x) = 2 x + n - 2$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $- 1 \leq m \leq e - 2$ 时，若不等式 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求 $\frac{n - 3}{m + 2}$ 的最小值．

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等级	$24 h$ 降雨量（ $m m$ ）
小雨	$(0 ， 10)$
中雨	$[10 ， 25)$
大雨	$[25 ， 50)$
暴雨	$[50 ， 100)$
大暴雨	$[100 ， 250)$
特大暴雨	$[250 ， + \infty)$

$\bar{v}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} v_{i}$	$1 0^{0.84}$
1.84	58.55	6.9