四川省自贡市2022年中考数学试卷

试卷更新日期：2022-06-15 类型：中考真卷

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一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）

1. 如图，直线 $A B 、 C D$ 相交于点 $O$ ；若 $∠ 1 = 30^{\circ}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、30° B、40° C、60° D、150°

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2. 自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止今年5月，共接待游客180000余人；人数180000用科学记数法表示为（）

A、 $1.8 \times 10^{4}$ B、 $18 \times 10^{4}$ C、 $1.8 \times 10^{5}$ D、 $1.8 \times 10^{6}$

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3. 如图，将矩形纸片ABCD 绕边CD所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（ )

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 1)}^{2} = - 2$ B、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(- \frac{1}{2022})}^{0} = 0$

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5. 如图，菱形 ABCD 对角线交点与坐标原点 O 重合，点 A（-2，5），则点C的坐标为（）

A、 $(5 ， - 2)$ B、 $(2 ， - 5)$ C、 $(2 ， 5)$ D、 $(- 2 ， - 5)$

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6. 剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（）

A、， B、 C、 D、

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于⊙ $O$ ， $A B$ 为⊙ $O$ 的直径， $∠ A B D = 20^{\circ}$ ，则 $∠ B C D$ 的度数是（）

A、90° B、100° C、110° D、120°

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8. 六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（）

A、平均数是14 B、中位数是14.5 C、方差3 D、众数是14

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9. 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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10. $P$ 为⊙ $O$ 外一点， $P T$ 与⊙ $O$ 相切于点 $T$ ， $O P = 10$ ， $∠ O P T = 30^{\circ}$ ，则 $P T$ 的长为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、5 C、8 D、9

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11. 九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（）

A、方案1 B、方案2 C、方案3 D、方案1或方案2

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12. 已知 $A (- 3 ， - 2) ， B (1 ， - 2)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 顶点在线段 $A B$ 上运动，形状保持不变，与 $x$ 轴交于 $C ， D$ 两点（ $C$ 在 $D$ 的右侧），下列结论：
①. $c \geq - 2$ ；②.当 $x > 0$ 时，一定有 $y$ 随 $x$ 的增大而增大；③.若点 $D$ 横坐标的最小值为-5，点 $C$ 横坐标的最大值为3；④.当四边形 $A B C D$ 为平行四边形时， $a = \frac{1}{2}$ .

其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、①③④

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二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）

13. 计算： $| - 2 | =$ .

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14. 分解因式： $m^{2} + m =$ ．

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15. 化简： $\frac{a - 3}{a^{2} + 4 a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 4}{a - 3} + \frac{2}{a + 2}$ = .

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16. 为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是鱼池（填甲或乙）

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17. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦 $A B$ 长20厘米，弓形高 $C D$ 为2厘米，则镜面半径为厘米.

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 2$ ， $G$ 是 $A D$ 的中点，线段 $E F$ 在边 $A B$ 上左右滑动；若 $E F = 1$ ，则 $G E + C F$ 的最小值为 .

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三、解答题（共8个题，共78分）

19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x < 6 \\ 5 x + 4 > 3 x + 2 \end{array}$ ，并在数轴上表示其解集.

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20. 如图，△ $A B C$ 是等边三角形， $D 、 E$ 在直线 $B C$ 上， $D B = E C$ .

求证： $∠ D = ∠ E$ .

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21. 学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度.

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22. 为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间 $t$ （单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按 $0 \leq t < 3$ ， $3 \leq t < 4$ ， $4 \leq t < 5$ ， $t \geq 5$ 分为四个等级，分别用A、B、C、D表示；下图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

(1)、求参与问卷调查的学生人数 $n$ ，并将条形统计图补充完整；

(2)、全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；

(3)、某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况，请用画树状图或列表法求这2人均属D等级的概率.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{n}{x}$ 的图象交于 $A (- 1 ， 2) ， B (m ， - 1)$ 两点.

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、过点 $B$ 作直线 $l$ ∥ $y$ 轴，过点 $A$ 作直线 $A D ⊥ l$ 于 $D$ ，点 $C$ 是直线 $l$ 上一动点，若 $D C = 2 D A$ ，求点 $C$ 的坐标.

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24. 如图，用四根木条钉成矩形框 $A B C D$ ，把边 $B C$ 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.

(1)、通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 $E B$ 由 $A B$ 旋转得到，所以 $E B = A B$ .我们还可以得到 $F C$ = ， $E F$ = ；

(2)、进一步观察，我们还会发现 $E F$ ∥ $A D$ ，请证明这一结论；

(3)、已知 $B C = 30 c m ， D C = 80 c m$ ，若 $B E$ 恰好经过原矩形 $D C$ 边的中点 $H$ ，求 $E F$ 与 $B C$ 之间的距离.

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25. 某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：

(1)、探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 $O$ 处，另一端系小重物 $G$ .测量时，使支杆 $O M$ 、量角器90°刻度线 $O N$ 与铅垂线 $O G$ 相互重合（如图①），绕点 $O$ 转动量角器，使观测目标 $P$ 与直径两端点 $A 、 B$ 共线（如图②），此目标 $P$ 的仰角 $∠ P O C = ∠ G O N$ .请说明两个角相等的理由.

(2)、实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 $K$ 处测得顶端 $P$ 的仰角 $∠ P O Q = 60^{\circ}$ ，观测点与树的距离 $K H$ 为5米，点 $O$ 到地面的距离 $O K$ 为1.5米；求树高 $P H$ . （ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到0.1米）

(3)、拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 $P$ 距离地面高度 $P H$ （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 $E 、 F$ （ $E 、 F 、 H$ 在同一直线上），分别测得点 $P$ 的仰角 $α 、 β$ ，再测得 $E 、 F$ 间的距离 $m$ ，点 $O_{1} 、 O_{2}$ 到地面的距离 $O_{1} E 、 O_{2} F$ 均为1.5米；求 $P H$ （用 $α 、 β 、 m$ 表示）.

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26. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，且函数图象经过 $(0 ， 3)$ ， $(2 ， - 5)$ 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 $x$ 轴交点及顶点的坐标；

(2)、在图①中画出⑴中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 $y \geq 3$ 时自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、若 $a + b + c = 0$ 且 $a > b > c$ ，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 两根之差等于 $a - c$ ，函数图象经过 $P (\frac{1}{2} - c ， y_{1}) ， Q (1 + 3 c ， y_{2})$ 两点，试比较 $y_{1} 、 y_{2}$ 的大小 .

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