四川省成都市东部新区2021-2022学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-06-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = x^{2} - 7 x$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的平均变化率为（）

A、-4 B、4 C、-6 D、6

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2. 已知i是虚数单位，则复数 $i^{3} (1 + i)$ 的虚部是（）

A、1 B、 $i$ C、-1 D、 $- i$

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3. 在空间直角坐标系中，已知 $M (- 1 ， 0 ， 2)$ ， $N (3 ， 2 ， 0)$ ，则MN的中点P到坐标原点О的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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4. 若直线l的方向向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ，平面 $β$ 的法向量 $\vec{n} = (1 ， 1 ， - 1)$ ，则（）

A、 $l \subset β$ B、 $l ⊥ β$ C、 $l / / β$ D、 $l \subset β$ 或 $l / / β$

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5. 已知 $f (x) = c o s 2 x$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} =$ （）

A、 $s i n 2 x$ B、 $- s i n 2 x$ C、 $2 s i n 2 x$ D、 $- 2 s i n 2 x$

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6. 若 $x = 1$ 是函数 $f (x) = a l n x + x$ 的极值点，则 $a$ 的值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、e

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7. 已知 $f (x) = 2 x e^{x} - a x^{2} - 2 a x$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， e]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[e ， + \infty)$

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8. 如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x < 0 \\ 4 x^{3} - 6 x^{2} + 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则方程 $3 [f (x)]^{2} - 2 f (x) - 1 = 0$ 实根的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数，且 $f (1) = 1$ ，导函数 $f^{^{'}} (x)$ 满足 $f^{'} (x) > f (x)$ 恒成立，则不等式 $f (x) < e^{x - 1}$ 的解集为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(0 ， 1)$

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12. 在平面向量中，我们用 $| \vec{a} | c o s 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ 表示 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影，换个角度，向量 $\vec{O A}$ 在直线OB的法向量 $\vec{A C}$ 方向上的投影的绝对值就是点A到直线OB的距离（如图1），如果利用类比的方法，那么图2中点A到平面BCD的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. $\int_{0}^{1} (e^{x} + 2 x) d x$ = ．

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14. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 7 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ ．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， k)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 0 ， 1)$ ，若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 互相垂直，则 $k =$ .

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16. 已知 $y = k x + b$ 是函数 $f (x) = l n x$ 的切线，则 $2 k + b$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3 n + 5$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ，并猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、用数学归纳法证明（1）中的猜想.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 5 (a ， b \in R)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 1$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求 $y = f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 0]$ 上的最值.

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19. 已知空间三点 $a = \sqrt{2}$ ， $B (- 2 ， 1 ， 6)$ ， $C (1 ， - 1 ， 5)$ .

(1)、求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；

(2)、设 $D (x ， 1 ， - 1)$ ，若A，B，C，D四点共面，求 $x$ 的值

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $A B ⊥ A C$ ， $B E ⊥ A B_{1}$ 交 $A A_{1}$ 于点 $E$ ， $D$ 为 $C C_{1}$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $B E ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ；
（Ⅱ）求二面角 $C - A B_{1} - D$ 的余弦值.

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21. 设函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a l n x - (a + 1) x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意 $x_{1} > x_{2} > 1$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - e^{(x + a)}$ （其中 $e = 2.718 ⋯$ 为自然对数的底数）.

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与x轴交于点 $(2 ， 0)$ ，求a的值；

(2)、求证： $a > 1 - \frac{1}{e}$ 时， $f (x)$ 存在唯一极值点 $x_{0}$ ，且 $0 < x_{0} < \frac{1}{e}$ .

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