陕西省西安市鄠邑区2021-2022学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-06-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = - 4 + i$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 计算 $\frac{5 - i}{1 + i} =$ （）

A、 $- 2 - 3 i$ B、 $- 2 + 3 i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $2 + 3 i$

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3. 如图，射线l和圆C，当l从l₀开始在平面上绕端点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过180º）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设函数 $f (x) = {(1 - 2 x^{3})}^{10}$ ，则 $f^{'} (1)$ 等于（）

A、0 B、60 C、-1 D、-60

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5. 有以下结论：①已知 $p^{3} + q^{3} = 2$ ，求证： $p + q \leq 2$ ，用反证法证明时，可假设 $p + q \geq 2$ ；②已知 $a ， b \in R$ ， $| a | + | b | < 1$ ，求证方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根 $x_{1}$ 的绝对值大于或等于1，即假设 $| x_{1} | \geq 1$ ．下列说法中正确的是（）

A、①与②的假设都错误 B、①与②的假设都正确 C、①的假设正确；②的假设错误 D、①的假设错误；②的假设正确

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6. 抛物线 $y = x^{2} - x$ 与x轴围成的图形的面积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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7. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）

A、 $0 < f' (2) < f' (3) < f (3) - f (2)$ B、 $0 < f' (3) < f (3) - f (2) < f' (2)$ C、 $0 < f' (3) < f' (2) < f (3) - f (2)$ D、 $0 < f (3) - f (2) < f' (2) < f' (3)$

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8. 设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，将 $y = f (x)$ 和 $y = f^{'} (x)$ 的图象画在同一直角坐标系中，下列不可能正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 利用数学归纳法证明不等式 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2^{n} - 1} < f (n)$ （ $n \geq 2$ ，且 $n \in N^{*}$ ）的过程，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，左边增加了（）

A、 $2^{k}$ 项 B、 $2^{k - 1}$ 项 C、k项 D、1项

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10. 已知结论：“在正△ABC中，BC中点为D，若△ABC内一点G到各边的距离都相等，则 $\frac{A G}{G D} = 2$ ”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则 $\frac{A O}{O M} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数，则下列四个结论中正确的是（）

A、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} > 0$ ，则 $z_{1}^{2} > - z_{2}^{2}$ B、 $| z_{1} - z_{2} | = \sqrt{(z_{1} + z_{2})^{2} - 4 z_{1} z_{2}}$ C、 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0 \Leftrightarrow z_{1} = z_{2} = 0$ D、 $z_{1} - \bar{z_{1}}$ 是纯虚数或零

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12. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (2) = 0$ ，当 $x > 0$ 时，有 $\frac{x f^{'} (x) - f (x)}{x^{2}} < 0$ 恒成立，则不等式 $x^{2} f (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- 2 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 0) ∪ (0 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (0 ， 2)$

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二、填空题

13. 利用定积分的几何意义，计算 $\int_{- 3}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x =$ ．

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14. 凸 $n$ 边形有 $f (n)$ 条对角线，则凸 $n + 1$ 边形的对角线条数 $f (n + 1) = f (n) +$ ．

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15. 若函数 $y = g (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数，则称函数 $y = f (x)$ 是函数 $y = g (x)$ 的原函数，例如 $y = x^{3}$ 是 $y = 3 x^{2}$ 的原函数， $y = x^{3} + 1$ 也是 $y = 3 x^{2}$ 的原函数，现请写出函数 $y = 2 x^{4}$ 的一个原函数：．

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16. ①一段演绎推理的“三段论”是这样的：对于可导函数 $f (x)$ ，如果 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，那 $x = x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的极值点．因为 $f (x) = x^{3}$ 满足 $f^{'} (0) = 0$ ，所以 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x^{3}$ 的极值点．此三段论的结论错误是因为大前提错误；
②在直角 $△ A B C$ 中，若 $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $A C = b$ ， $B C = a$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为 $r = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}$ ．
运用此类比推理，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，则该三棱锥外接球的半径为 $R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{3}$ ．
以上命题不正确的是（填序号）．

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三、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = (2 x + 1) + i ，$ $z_{2} = y + (2 - y) i$ .

(1)、若 $z_{1} = z_{2}$ ，且 $x ， y \in R$ ，求 $z_{1}$ 和 $| z_{1} |$ ；

(2)、若 $z_{1} = z_{2}$ ，且 $x \in R$ ， y为纯虚数，求 $z_{1}$ .

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18. 已知函数 $y = x + \frac{1}{x}$ ，试讨论此函数的单调递增区间．

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19. 用综合法或分析法证明：

(1)、如果 $a ， b > 0$ ，则 $l g \frac{a + b}{2} \geq \frac{l g a + l g b}{2}$ ；

(2)、 $\sqrt{6} + \sqrt{10} > 2 \sqrt{3} + 2$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$ .
⑴ $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值；

(1)、若函数 $g (x) = f (x) - m x$ 区间 $[- 2 ， 2]$ 上存在递减区间，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 在数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 4$ ，且 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 成等差数列， $b_{n}$ ， $a_{n + 1}$ ， $b_{n + 1}$ 成等比数列（ $n \in N^{*}$ ）．求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 及 $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $b_{4}$ ，由此猜测 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式，并证明你的结论．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线方程为 $a x - y = 0$ ，求 $x_{0}$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ 时，求证： $f (x) > x$ ．

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