广西玉林市市直六所普通高中2021-2022学年高二下学期理数期中联合质量评价试卷

试卷更新日期：2022-06-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数为 $f^{'} (x_{0})$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + 3 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} f^{'} (x_{0})$ B、 $- 3 f^{'} (x_{0})$ C、 $3 f^{'} (x_{0})$ D、 $\frac{1}{3} f^{'} (x_{0})$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 5$ ，则（）

A、 $z = 1 - 2 i$ B、 $z + 1$ 是纯虚数 C、复数 $z$ 在复平面内对应的点在第二象限 D、若复数 $z$ 在复平面内对应的点在角 $α$ 的终边上，则 $c o s α = \frac{\sqrt{5}}{5}$

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3. 函数 $y = c o s (1 + x^{2})$ 的导数是（）

A、 $2 x s i n (1 + x^{2})$ B、 $- s i n (1 + x^{2})$ C、 $- 2 x s i n (1 + x^{2})$ D、 $2 c o s (1 + x^{2})$

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4. 下列等式错误的是（）

A、 $C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{n!}$ B、 $\frac{n!}{n (n - 1)} = (n - 2)!$ C、 $A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}$ D、 $\frac{1}{n - m} A_{n}^{m + 1} = A_{n}^{m}$

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5. 用反证法证明“已知 $x ， y \in R ， x^{2} + y^{2} = 0$ ，求证： $x = y = 0$ .”时，应假设（）

A、 $x \neq y \neq 0$ B、 $x = y \neq 0$ C、 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$ D、 $x \neq 0$ 或 $y \neq 0$

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6. 偶函数 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数， $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极值10，则 $a + b =$ （）

A、0或－7 B、0 C、－7 D、1或－6

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8. 用数学归纳法证明 $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + ⋯ + \frac{1}{2 n} < 1 (n \in N^{•} ， n ⩾ 2)$ 时，从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ ，不等式左边需添加的项是（）

A、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)} - \frac{1}{k}$ B、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{k}$ D、 $\frac{1}{2 (k + 1)}$

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9. 将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．

A、420 B、180 C、64 D、25

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10. 某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（）

A、36 B、96 C、114 D、130

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11. 已知定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) - \frac{f (x)}{x} - 3 > 0$ ，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (e^{x}) - 3 x e^{x} > 0$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(e ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ （ $a \in R$ ）有三个（不同的）零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{4}{e^{2}})$ B、 $[\frac{1}{e} ， \frac{4}{e^{2}}]$ C、 $[\frac{4}{e^{2}} ， \frac{2}{e^{2}})$ D、 $[\frac{4}{e^{3}} ， \frac{2}{e^{2}})$

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二、填空题

13. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为 $\frac{1}{n} (n \geq 2)$ ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 $\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ ， $⋯$ ，则第7行第5个数(从左往右数)为.

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14. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为.（用数字作答）

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15. 如图，阴影部分是由曲线 $y = 2 x^{2}$ 和 $x^{2} + y^{2} = 3$ 及 $x$ 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为.

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16. 若函数 $f (x) = l n x$ 和 $g (x) = x^{2} + a x (a \in R)$ 的图象有且仅有一个公共点P，则g(x)在P处的切线方程是.

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三、解答题

17. 在① $z < 0$ ， ② $z$ 为虚数，③ $z$ 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知复数： $z = (m^{2} - 2 m - 8) + (m^{2} - 4) i$ .

(1)、若__________，求实数 $m$ 的值；

(2)、若复数 $z - m^{2} (1 + i) + 8$ 的模为 $2 \sqrt{5}$ ，求 $m$ 的值.

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18. 从 $A ， B ， C$ 等7人中选5人排成一排（写出必要的数学式，结果用数字作答）

(1)、若 $A$ 必须在内，有多少种排法？

(2)、若 $A ， B ， C$ 三人不全在内，有多少种排法？

(3)、若 $A ， B ， C$ 都在内，且 $A ， B$ 必须相邻， $C$ 与 $A ， B$ 都不相邻，有多少种排法？

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19. 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度 $v (t) = 5 - t + \frac{55}{t + 1}$ （单位：m/s）紧急刹车至停止．求：
（I）从开始紧急刹车到火车完全停止所经过的时间；
（Ⅱ）紧急刹车后火车运行的路程．

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20. 已知函数 $f (x) = x - (a + 2) l n x - \frac{2 a}{x}$ ，且 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线l与 $2 x + y + 1 = 0$ 平行.

(1)、求切线l的方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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21.

(1)、请用分析法证明： $\sqrt{a + 6} + \sqrt{a + 7} > \sqrt{a + 8} + \sqrt{a + 5}$ ；

(2)、用数学归纳法证明不等式： $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2}} > 1 (n \in N^{*} ， n > 1)$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - 4 x ， a \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) + x^{2} + 1 > 0$ ．

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