广东省清远市重点中学2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-06-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）

A、10种 B、20种 C、25种 D、32种

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2. 已知函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上可导，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 + Δ x) - f (1 - Δ x)}{3 Δ x} =$ （）

A、 $f^{'} (1)$ B、 $\frac{1}{3} f^{'} (1)$ C、 $\frac{1}{2} f^{'} (1)$ D、 $\frac{2}{3} f^{^{'}} (1)$

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3. ${(a + \sqrt{b})}^{9}$ 的展开式中第7项为（）

A、 $104 a^{7} b^{2}$ B、 $84 a^{3} b^{3}$ C、 $63 a^{3} b^{3}$ D、 $36 a^{7} b$

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4. 设函数 $f (x) = c o s x$ ，则 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x + y - \frac{π}{2} = 0$ D、 $x - y - \frac{π}{2} = 0$

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5. 关于排列组合数，下列结论错误的是（）

A、 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ B、 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m - 1} + C_{n}^{m}$ C、 $A_{n}^{m} = m A_{n - 1}^{m - 1}$ D、 $A_{n}^{m} + m A_{n}^{m - 1} = A_{n + 1}^{m}$

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6. 某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（）

A、216种 B、108种 C、72种 D、36种

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，若 $a = f (- l o g_{3} \frac{1}{5})$ ， $b = f (3^{- 0.3})$ ， $c = f (\frac{3}{2})$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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8. 盒中有a个红球，b个黑球，c个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球d个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（）

A、 $\frac{b}{a + b + c}$ B、 $\frac{b}{a + b + c + d}$ C、 $\frac{b + d}{a + b + c}$ D、 $\frac{b + d}{a + b + c + d}$

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二、多选题

9. 若 ${(1 + m x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{8} x^{8}$ 且 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{8} = 255$ ，则实数m的值可以为（）

A、﹣3 B、﹣1 C、0 D、1

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10. 设随机变量 $ξ$ 的分布列为 $P (ξ = \frac{k}{5}) = a k (k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ ，则（）

A、 $15 a = 1$ B、 $P (0.5 < ξ < 0.8) = 0.2$ C、 $P (0.1 < ξ < 0.5) = 0.2$ D、 $P (ξ = 1) = 0.3$

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11. 甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）

A、 $P (A) = \frac{3}{5}$ B、 $P (B | A) = \frac{2}{5}$ C、 $P (B) = \frac{13}{25}$ D、 $P (A | B) = \frac{9}{13}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} + s i n x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 有且只有一个极值点 B、设 $g (x) = f (x) \cdot f (- x)$ ，则 $g (x)$ 与 $f (x)$ 的单调性不同 C、 $f (x)$ 有3个零点 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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三、填空题

13. 设随机变量X服从两点分布，若 $P (X = 1) - P (X = 0) = 0.2$ ，则 $P (X = 1) =$ ．

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14. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 x f' (1) + ln x$ ，则 $f' (1) =$

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15. 马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为．

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16. 设 $f (x)$ 是定义在R上的可导函数，且满足 $f (x) + x f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $\sqrt{x} f (x) > f (\sqrt{x})$ 解集为．

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四、解答题

17. 已知 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中二项式系数和为64．

(1)、求n的值；

(2)、写出展开式中的一次项系数．

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18. 已知数列 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}} (n \in N^{*})$ 是首项为2，公差为2的等差数列．其中 $a_{1} = 1$ ，数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${b_{n}}$ 数列的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 袋中有3个红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球，记得分为X．

(1)、求得分X的可能取值；

(2)、求得分X的分布列．

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20. 如图，E是以 $A B$ 为直径的半圆O上异于A、B的点，矩形 $A B C D$ 所在的平面垂直于圆O所在的平面，且 $A B = 2 A D = 2$ .

(1)、求证：平面 $D A E ⊥$ 平面 $C B E$ ；

(2)、若异面直线 $A E$ 和 $D C$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求平面 $D C E$ 与平面 $A E B$ 的夹角的正弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $E_{1} (0 ， \frac{3}{4})$ ， $E_{2} (1 ， \frac{3}{4})$ ，直线 $F_{1} E_{1}$ ， $F_{2} E_{2}$ 的交点D既在椭圆C上，也在直线 $y = \frac{3}{2}$ 上.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过直线 $x = 4$ 上的动点A的直线l与椭圆C只有一个公共点B，判断x轴上是否存在点P，使得 $P A ⊥ P B$ .若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x} - 1}$ ．

(1)、求证： $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递减

(2)、若对于任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq \frac{2 a}{e^{x} + a}$ 恒成立，求正实数a的取值范围．

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