广东省茂名市化州市2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-06-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 \leq 0} ， B = {x | y = l g (2 - x)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、[1，2） C、[1，2] D、 $(- \infty ， 1]$

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2. 已知复数z满足 $z \cdot (1 - i) = 4 i$ ，则 $| z + i | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{13}$

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3. 曲线 $y = x^{3} + 1$ 在点 $(- 1 ， a)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 3 x + 3$ B、 $y = 3 x + 1$ C、 $y = - 3 x - 1$ D、 $y = - 3 x - 3$

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4. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”，15只相同的“雪容融”和10个相同的北京2022年冬奥会徽章中，采取分层抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取4只，则n为（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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5. 已知 $\vec{a} = (1 - t ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (2 ， t ， t)$ ，则 $| \vec{b} - \vec{a} |$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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6. ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 x})}^{6}$ 的展开式中，常数项是（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、7 C、14 D、15

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7. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的顶点都在球O的表面上，且 $A C = B C ， ∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 $12 + 6 \sqrt{3}$ ，则球O的表面积的最小值是（）

A、8π B、12π C、24π D、32π

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 9}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、函数 $y = f (x + 2022)$ 的零点为0 D、当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{3}$

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10. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ ，则（）

A、实轴长为 $\sqrt{3}$ B、渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、离心率为2 D、过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则 $| A B | = \frac{16 \sqrt{3}}{5}$

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11. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）

A、从中任选1个球，有15种不同的选法 B、若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C、若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D、若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

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12. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x$ ．则下列说法正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时， $f {(x)}_{m i n} = - \frac{1}{e}$ B、当 $a = 1$ 时，直线 $y = 2 x$ 与函数 $f (x)$ 的图像相切 C、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a \geq 0$ D、若在区间 $[0 ， 1]$ 上 $f (x) \leq x^{2}$ 恒成立，则 $a ≤ 1 - e$

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三、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + a_{11} + a_{13} = 9$ ，则 $S_{17} =$ ．

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14. 过点 $(0 ， 1)$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $| A B |$ 的最小值为．

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15. 已知 ${(1 + x)}^{2022} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + ⋯ + a_{2022} x^{2022}$ ，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + ⋯ + a_{2021} =$ ．

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与动直线l：y= $\frac{3}{2}$ x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{n} = 2 S_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{3} a_{n + 1} \cdot l o g_{3} a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b t a n A + 2 a s i n B = 0$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求角A；

(2)、求点A到边BC的距离的最大值．

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19. 某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.

(1)、求男生甲被选中的概率；

(2)、在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；

(3)、在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

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20. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 为等腰直角三角形， $A P = P C = \frac{1}{2} A B = 2 ， P B = 2 \sqrt{3}$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、求证： $P A ⊥ B C$ ；

(2)、若E为 $P C$ 中点，F在 $A C$ 上，且满足 $P A$ ∥平面 $B E F$ ，求三棱锥 $E - B C F$ 的体积.

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21. 已知定点 $F (0 ， 1)$ ，定直线 $m ： y = - 1$ ，动圆 $M$ 过点 $F$ ，且与直线 $m$ 相切.

(1)、求动圆 $M$ 的圆心轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于 $A ､ B$ 两点，与圆 $N ： x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 交于 $C ､ D$ 两点（A，C在y轴同侧），求证： $| A C | \cdot | D B |$ 是定值.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上的最大值为1，求实数 $a$ 的值；

(2)、设函数 $h (x) = (x - 2) e^{x} + f (x)$ ，当 $a = 1$ 时， $h (x) \leq b$ 对任意的 $x \in (\frac{1}{3} ， 1]$ 恒成立，求满足条件的实数 $b$ 的最小整数值．

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