广东省江门市部分名校2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-06-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 由 $A$ 村去 $B$ 村的道路有4条，由 $B$ 村去 $C$ 村的道路有3条，从 $A$ 村经 $B$ 村去 $C$ 村不同的走法有（）

A、7种 B、9种 C、11种 D、12种

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = 5$ ， $a_{5} = 3 a_{2}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、0

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3. 函数 $f (x) = 2 e^{x} + \frac{1}{x + 1}$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y + 3 = 0$ B、 $x + y - 3 = 0$ C、 $x - y + 3 = 0$ D、 $x - y - 3 = 0$

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4. ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为（）

A、80 B、160 C、320 D、640

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5. 某高校食堂备有5类不同的菜品，3类不同的饮料，若要对这些菜品和饮料设计一个排序，要求饮料不能相邻，则不同的排法种数为（）

A、 $A_{6}^{6} A_{5}^{3}$ B、 $A_{3}^{3} A_{6}^{5}$ C、 $A_{3}^{3} A_{3}^{1}$ D、 $A_{5}^{5} A_{6}^{3}$

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6. 某高校外语专家组为评审某校外语系的本科教育水平是否达标，从包含甲、乙两位专家在内的7人中选出4人组成评审委员会，若要求甲、乙至少有1人被选进评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（）

A、30种 B、15种 C、20种 D、25种

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7. 已知 ${(2 x - 3)}^{8} = a_{0} + a_{1} (1 - x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} {(1 - x)}^{8}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、224 B、-224 C、-448 D、448

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8. 为支持某地新冠肺炎疫情的防控工作，某医院派出甲、乙等五名医护人员，分别派往 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个区，每区至少一人，若甲、乙前往 $A$ 区或 $C$ 区，且甲、乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（）

A、12种 B、24种 C、30种 D、48种

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二、多选题

9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为4 B、 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 C、椭圆 $C$ 上的点到焦点的最短距离为1 D、椭圆 $C$ 上的点到焦点的最短距离为3

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10. 第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（）

A、若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案 B、若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案 C、安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法 D、已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法

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11. 若 $(1 + 2 x) + {(1 + 2 x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n} (n \in N^{*})$ ， $a_{0} = 6$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $n = 6$ B、 $a_{1} = 42$ C、 $\sum_{i = 0}^{n} a_{i} = 64$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} {(- 1)}^{i} i a_{i} = 6$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 x + s i n x$ ，若 $f (l n x + \frac{a}{x}) + f (- 1) ≥ 0$ 对 $x \in (0 ， 2]$ 恒成立，则实数 $a$ 的可能取值为（）

A、0 B、1 C、2 D、-1

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三、填空题

13. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (2 ， - 1 ， 0)$ ，直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{m} = (t ， - 4 ， t + 1)$ ，且 $l / /$ 平面 $α$ ，则 $t =$ .

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14. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{12}{5} x$ ，则 $C$ 的离心率为.

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15. 现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各1张，一共可以组成的币值有种．

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16. 如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为．

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四、解答题

17. 某班有5名同学报名参加三个智力竞赛项目．

(1)、每人恰好参加一项，每项人数不限，有多少种不同的报名方法？

(2)、每项只报1人，且每人至多参加一项，有多少种不同的报名方法？

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18.

(1)、从含有3件次品的40件产品中，任意抽取3件产品进行检验，抽出的产品中恰好含有2件次品的抽法有多少种？

(2)、从0，2中任取1个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 的图象在点 $P (1 ， - 1)$ 处的切线斜率为-12，且 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 2 ， 2]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值与最小值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = 2 S_{n - 1} + 1 (n \geq 2)$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n + 1} + 1) (a_{n} + 1)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 某校在“五四青年节”进行文艺汇演，高一、高二、高三分别选送了5，3，2个节目，求在下列条件下不同的安排种数（用具体数字作答）．

(1)、若高二的节目互不相邻，高三的节目必须相邻；

(2)、由于一些特殊原因，高一的 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ， $A_{5}$ 这5个节目中， $A_{1}$ 必须在其余4个节目前面演出，高二的 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ 这3个节目中，必须按 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ 的顺序（可不相邻）出场；

(3)、演出结束后，学校安排高一年级的12个班去打扫 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个区域的卫生，12个班被平均分成四组，每个区域安排一组，且1，2班必须打扫同一个区域，3，4班也必须打扫同一个区域．

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22. 设函数 $f (x) = x^{2} - (a - 2) x - a l n x$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求正整数 $a$ 的最小值.

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