广东省惠州市博罗县2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-06-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导函数 $f^{'} (x)$ ， $f (x)$ 的图象在点 $M (1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = \frac{1}{2} x + 2$ ，那么 $f^{'} (1)$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 2022年北京冬奥会期间，准备从5名志愿者中选3人去为速度滑冰、花样滑冰、冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（）．

A、12 B、24 C、36 D、60

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3. ${(3 x + \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为（）．

A、540 B、18 C、15 D、135

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4. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 x f^{'} (e) + l n x$ ，则 $f^{'} (e) =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、-1 C、 $- \frac{1}{e}$ D、 $- e$

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5. 学校要求学生从物理､历史､化学､生物､政治､地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（）

A、5 B、12 C、20 D、120

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6. $(a - x) {(2 + x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数是12，则实数a的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) - 2 x > 0$ ，且 $f (1) = 3$ ，则 $f (x) > x^{2} + 2$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， 1)$

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二、多选题

9. 下列求导错误的是（）．

A、 ${(e^{3 x})}^{^{'}} = 3 e^{x}$ B、 ${(\frac{x^{2}}{2 x + 1})}^{^{'}} = x$ C、 ${(2 s i n x - 3)}^{^{'}} = 2 c o s x$ D、 ${(x c o s x)}^{^{'}} = c o s x - x s i n x$

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10. 离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
4
5
P
q
0.3
0.2
0.2
0.1
若离散型随机变量Y满足 $Y = 2 X + 1$ ，则下列结果正确的有（）

A、 $E (X) = 2$ B、 $E (Y) = 4$ C、 $D (X) = 2.8$ D、 $D (Y) = 14$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，则（）．

A、 $f (x)$ 的递增区间为 $(- \infty ， e)$ B、 $f (x)$ 极大值为 $\frac{1}{e}$ C、 $f (x)$ 的极大值点为e D、 $f (\sqrt{e}) < f (\sqrt{π}) < f (2)$

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12. 从有大小和质地相同的3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则（）．

A、第一次摸到红球的概率为 $\frac{3}{5}$ B、第二次摸到红球的概率为 $\frac{3}{5}$ C、在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为 $\frac{4}{5}$ D、在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为 $\frac{2}{3}$

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三、填空题

13. 在 $0 - 1$ 分布中，设 $P (X = 0) = \frac{1}{3}$ ，则 $E (X) =$ .

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14. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数

C_{n}^{r}

都换成分数

\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}}

，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第9行第4个数是．

杨辉三角

莱布尼茨三角形

第0行第1行

第2行

第3行

第n行

11 1

1 2 1

1 3 3 1

1 $C_{n}^{1}$ $C_{n}^{2}$ … $C_{n}^{n - 1}$ 1

1 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{4}$

第0行

第1行

第2行

第3行

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15. 若函数 $f (x) = a x - l n x$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (x + 1) e^{x} ， x < 1 \\ x^{2} - 2 x ， x \geq 1 \end{array}$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为．若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有3个零点，则k的范围是．

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四、解答题

17. 从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？

(1)、甲不在第一棒；

(2)、若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．

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18. 设函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值．

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19. 设 $f (x) = a l n x + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} x + 1$ 曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处取得极值．

(1)、求 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \geq \frac{1}{3}$ ，且 $f (x) \leq m$ 恒成立，求m的取值范围．

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20. 为了纪念伟大的爱国主义诗人屈原，端午节包粽子已是我们的传统习俗．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的粽子，已知甲箱中有5个蛋黄馅的粽子和3个红豆馅的粽子，乙箱中有4个蛋黄馅的粽子和3个红豆馅的粽子．

(1)、若从甲箱中任取2个粽子，求这2个粽子都是红豆馅的概率；

(2)、若先从甲箱中任取2个粽子放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个粽子，求取出的这个粽子是蛋黄馅的概率．

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21. 为响应绿色出行，某市推出新能源租赁汽车.每次租车的收费由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.12元/分.已知陈先生的家距离公司12公里，每天上下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时间记为t（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示.
时间t（分）
$[20 ， 30)$
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
次数
12
28
8
2
将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为 $[20 ， 60)$ .

(1)、估计陈先生一次租用新能源汽车所用的时间不低于30分钟的概率；

(2)、求陈先生一次路上开车所用的时间t（分）的分布列和数学期望（同一区间内的值都看作该区间的中点值）；

(3)、若公司每月发放800元的交通补助，请估计是否足够陈先生一个月上下班租用新能源汽车（每月按22天计算），并说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} + b$ ．

(1)、若 $x \in (0 ， + \infty)$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $\frac{1}{2} < a \leq \frac{e^{2}}{2}$ ， $b > 2 a$ ，证明： $f (x)$ 只有1个零点．

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时间t（分）	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$
次数	12	28	8	2

X	0	1	2	4	5
P	q	0.3	0.2	0.2	0.1