2012年高考理数真题试卷（湖北卷）

试卷更新日期：2016-09-23 类型：高考真卷

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一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 方程x²+6x+13=0的一个根是（）

A、﹣3+2i B、3+2i C、﹣2+3i D、2+3i

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2. 命题“∃x₀∈∁_RQ，x₀³∈Q”的否定是（）

A、∃x₀∉∁_RQ，x₀³∈Q B、∃x₀∈∁_RQ，x₀³∉Q C、∀x₀∉∁_RQ，x₀³∈Q D、∀x₀∈∁_RQ，x₀³∉Q

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3.
已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）

A、 $\frac{2 π}{5}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、3π C、 $\frac{10 π}{3}$ D、6π

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5. 设a∈Z，且0≤a≤13，若51²⁰¹²+a能被13整除，则a=（）

A、0 B、1 C、11 D、12

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6. 设a，b，c，x，y，z是正数，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，则 $\frac{a + b + c}{x + y + z}$ =（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2^x；③f（x）= $\sqrt{| x |}$ ；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）

A、①② B、③④ C、①③ D、②④

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8.
如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

A、1﹣ $\frac{2}{π}$ B、 $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{π}$ C、 $\frac{2}{π}$ D、 $\frac{1}{π}$

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9. 函数f（x）=xcosx²在区间[0，4]上的零点个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ $\sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$ ．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）

A、d≈ $\sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$ B、d≈ $\sqrt[3]{2 V}$ C、d≈ $\sqrt[3]{\frac{300}{157} V}$ D、d≈ $\sqrt[3]{\frac{21}{11} V}$

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二、填空题：（一）必考题

11. 设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．

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12. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=

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13. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：
（Ⅰ）4位回文数有个；
（Ⅱ）2n+1（n∈N₊）位回文数有个．

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14. 如图，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a，b＞0）的两顶点为A₁ ， A₂ ，虚轴两端点为B₁ ， B₂ ，两焦点为F₁ ， F₂ ．若以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂ ，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e=；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁与矩形ABCD的面积S₂的比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ = ．

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三、填空题：（二）选考题

15. 如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为．

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16. （选修4﹣4：坐标系与参数方程）：
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ= $\frac{π}{4}$ 与曲线 ${\begin{matrix} x = t + 1 \\ y = {(t - 1)}^{2} \end{matrix}$ （t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．

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四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosωx﹣sinωx，sinωx）， $\vec{b}$ =（﹣cosωx﹣sinωx，2 $\sqrt{3}$ cosωx），设函数f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ +λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ $\frac{1}{2}$ ，1）

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、若y=f（x）的图象经过点（ $\frac{π}{4}$ ，0）求函数f（x）在区间[0， $\frac{3 π}{5}$ ]上的取值范围．

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18. 已知等差数列{a_n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．

(1)、求等差数列{a_n}的通项公式；

(2)、若a₂ ， a₃ ， a₁成等比数列，求数列{|a_n|}的前n项和．

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19. 如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），

(1)、当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；

(2)、当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

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20. 根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X
X＜300
300≤X＜700
700≤X＜900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：

(1)、工期延误天数Y的均值与方差；

(2)、在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．

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21. 设A是单位圆x²+y²=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

(2)、过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

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22. （I）已知函数f（x）=rx﹣x^r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．

(1)、求f（x）的最小值；

(2)、试用（1）的结果证明如下命题：设a₁≥0，a₂≥0，b₁ ， b₂为正有理数，若b₁+b₂=1，则a₁^b1a₂^b2≤a₁b₁+a₂b₂；

(3)、请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（x^α）^r=αx^α^﹣¹ ．

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降水量X	X＜300	300≤X＜700	700≤X＜900	X≥900
工期延误天数Y	0	2	6	10