【高考真题】2022年新高考数学真题试卷（浙江卷）

试卷更新日期：2022-06-13 类型：高考真卷

进入出卷网下载

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = {1 ， 2} ， B = {2 ， 4 ， 6}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、{2} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${2 ， 4 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 6}$

查看试题解析
2. 已知 $a ， b \in R ， a + 3 i = (b + i) i$ （ $i$ 为虚数单位），则（）

A、 $a = 1 ， b = - 3$ B、 $a = - 1 ， b = 3$ C、 $a = - 1 ， b = - 3$ D、 $a = 1 ， b = 3$

查看试题解析
3. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 \geq 0 ， \\ 2 x + y - 7 \leq 0 ， \\ x - y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 3 x + 4 y$ 的最大值是（）

A、20 B、18 C、13 D、6

查看试题解析
4. 设 $x \in R$ ，则“ $\sin x = 1$ ”是“ $\cos x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 某几何体的三视图如图所示（单位： $cm$ ），则该几何体的体积（单位： ${cm}^{3}$ ）是（）

A、 $22 π$ B、 $8 π$ C、 $\frac{22}{3} π$ D、 $\frac{16}{3} π$

查看试题解析
6. 为了得到函数 $y = 2 \sin 3 x$ 的图象，只要把函数 $y = 2 \sin (3 x + \frac{π}{5})$ 图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度

查看试题解析
7. 已知 $2^{a} = 5 ， \log_{8} 3 = b$ ，则 $4^{a - 3 b} =$ （）

A、25 B、5 C、 $\frac{25}{9}$ D、 $\frac{5}{3}$

查看试题解析
8. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} ， A C = A A_{1}$ ，E，F分别是棱 $B C ， A_{1} C_{1}$ 上的点．记 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $α$ ， $E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $F - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $α \leq β \leq γ$ B、 $β \leq α \leq γ$ C、 $β \leq γ \leq α$ D、 $α \leq γ \leq β$

查看试题解析
9. 已知 $a ， b \in R$ ，若对任意 $x \in R ， a | x - b | + | x - 4 | - | 2 x - 5 | \geq 0$ ，则（）

A、 $a \leq 1 ， b \geq 3$ B、 $a \leq 1 ， b \leq 3$ C、 $a \geq 1 ， b \geq 3$ D、 $a \geq 1 ， b \leq 3$

查看试题解析
10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{3} a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $2 < 100 a_{100} < \frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2} < 100 a_{100} < 3$ C、 $3 < 100 a_{100} < \frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{2} < 100 a_{100} < 4$

查看试题解析

二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分．

11. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 $a = \sqrt{2} ， b = \sqrt{3} ， c = 2$ ，则该三角形的面积 $S =$ ．

查看试题解析
12. 已知多项式 $(x + 2) {(x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2} =$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ．

查看试题解析
13. 若 $3 \sin α - \sin β = \sqrt{10} ， α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $\sin α =$ ， $\cos 2 β =$ ．

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 2 ， x \leq 1 ， \\ x + \frac{1}{x} - 1 ， x > 1 ， \end{matrix}$ 则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ ；若当 $x \in [a ， b]$ 时， $1 \leq f (x) \leq 3$ ，则 $b - a$ 的最大值是．

查看试题解析
15. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 2) =$ ， $E (ξ) =$ ．

查看试题解析
16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，过F且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线交双曲线于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ，交双曲线的渐近线于点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ．若 $| F B | = 3 | F A |$ ，则双曲线的离心率是．

查看试题解析
17. 设点P在单位圆的内接正八边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{8}$ 的边 $A_{1} A_{2}$ 上，则 ${\vec{P A}}_{1}^{2} + {\vec{P A_{2}}}^{2} + \dots + {\vec{P A}}_{8}^{2}$ 的取值范围是．

查看试题解析

三、解答题：本大题共5小题，共74分．

18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 $4 a = \sqrt{5} c ， \cos C = \frac{3}{5}$ ．

（Ⅰ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅱ）若 $b = 11$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
19. 如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形， $A B ∥ D C$ ， $D C ∥ E F$ ， $A B = 5$ ， $D C = 3$ ， $E F = 1$ ， $∠ B A D = ∠ C D E = 60 °$ ，二面角 $F - D C - B$ 的平面角为 $60 °$ ．设M，N分别为 $A E ， B C$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $F N ⊥ A D$ ；

（Ⅱ）求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = - 1$ ，公差 $d > 1$ ．记 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ．
（Ⅰ）若 $S_{4} - 2 a_{2} a_{3} + 6 = 0$ ，求 $S_{n}$ ；

（Ⅱ）若对于每个 $n \in N^{*}$ ，存在实数 $c_{n}$ ，使 $a_{n} + c_{n} ， a_{n + 1} + 4 c_{n} ， a_{n + 2} + 15 c_{n}$ 成等比数列，求d的取值范围．

查看试题解析
21. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + y^{2} = 1$ ．设A，B是椭圆上异于 $P (0 ， 1)$ 的两点，且点 $Q (0 ， \frac{1}{2})$ 在线段 $A B$ 上，直线 $P A ， P B$ 分别交直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 于C，D两点．

（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（Ⅱ）求 $| C D |$ 的最小值．

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = \frac{e}{2 x} + \ln x (x > 0)$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）已知 $a ， b \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 上不同的三点 $(x_{1} ， f (x_{1})) ， (x_{2} ， f (x_{2})) ， (x_{3} ， f (x_{3}))$ 处的切线都经过点 $(a ， b)$ ．证明：

（ⅰ）若 $a > e$ ，则 $0 < b - f (a) < \frac{1}{2} (\frac{a}{e} - 1)$ ；

（ⅱ）若 $0 < a < e ， x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $\frac{2}{e} + \frac{e - a}{6 e^{2}} < \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{3}} < \frac{2}{a} - \frac{e - a}{6 e^{2}}$ ．

（注： $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）

查看试题解析