初中数学浙教版八下数学综合题优生特训5

试卷更新日期：2022-06-11 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

(1)、如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

(2)、如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

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2. 已知正方形 $A B C D$ ，点F是射线 $D C$ 上一动点（不与C，D重合），连接 $A F$ 并延长交直线 $B C$ 于点E，交 $B D$ 于点H，连接 $C H$ ，过点C作 $C G ⊥ H C$ 交 $A E$ 于点G．

(1)、若点F在边 $C D$ 上，如图1．
①证明： $∠ D A H = ∠ D C H$
②猜想线段 $C G$ 与 $E F$ 的数量关系并说明理由

(2)、取 $D F$ 中点M，连结 $M G$ ，若 $M G = 4$ ，正方形边长为6，求 $B E$ 的长

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3. 如图 1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A D$ 边上一点，连接 $B E$ ．点 $M$ 在 $C D$ 边上运动．

(1)、当点 $M$ 和点 $C$ 重合时（如图2），过点 $C$ 做 $B E$ 的垂线，垂足为点 $P$ ，交直线 $A B$ 于点 $N$ ．请直接写出 $M N$ 与 $B E$ 的数量关系；

(2)、当点 $M$ 在 $C D$ 边上运动时，过点 $M$ 做 $B E$ 的垂线，垂足为点 $P$ ，交直线 $A B$ 于点 $N$ （如图 3 ），（1）中的结论依旧成立吗？请证明；

(3)、如图 4 ，当点 $M$ 在 $C D$ 边上运动时， $N$ 为直线 $A B$ 上一点，若 $M N = B E$ ，请问是否始终能证明 $M N ⊥ B E$ ？请你说明理由．

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4. 已知四边形ABCD是正方形，点E为射线AC上一动点（点E不与A，C重合），连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，过点D，F分别作DE，EF的垂线，两垂线交于点G，连接CG．

(1)、如图，当点E在对角线AC上时，依题意补全图形，并证明：四边形DEFG是正方形；

(2)、在（1）的条件下，猜想：CE，CG和AC的数量关系，并加以证明；

(3)、当点E在对角线AC的延长线上时，直接用等式表示CE，CG和AC的数量关系．

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5. 对于平面直角坐标系xOy中的线段AB和图形M，给出如下的定义：若图形M是以AB．为对角线的平行四边形，则称图形M是线段AB的“关联平行四边形”．点A（8，a），点B（2，b），

(1)、当a＝8，b＝﹣2时，若四边形AOBC是线段AB的“关联平行四边形”，则点C的坐标是；

(2)、若四边形AOBC是线段AB的“关联平行四边形”，求对角线OC的最小值；

(3)、若线段AB的“关联平行四边形”AOBC是正方形，直接写出点C的坐标．

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6. 如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（ $- 6$ ，8），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，BD所在直线与OA，x轴分别交于点D，F.

(1)、求线段BO的长；

(2)、求直线BD的解析式；

(3)、点M是直线BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N.在点M的运动过程中，是否存在以N、E、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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7. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作 $A E ⊥ B C$ 于点E，延长BC至F，使 $C F = B E$ .连接DF.

(1)、求证：四边形ADFE为矩形；

(2)、连接OF，若 $A D = 3$ ， $E C = 2$ ， $∠ A B F = 60^{\circ}$ ，求OF的长.

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8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (k + 2) x + 2 k = 0$ .

(1)、求证： $k$ 取任何实数，方程总有实数根；

(2)、若直角三角形 $A B C$ 的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求 $k$ 的值.

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9. 2019年小王看中了某楼盘以12000元每平方米的均价对外销售面积为100平方米的某户型，由于资金不足，决定等两年再考虑买房.自2019年底出现疫情以来，商品房价格下调，2021年的该户型的均价为9720元每平方米 .

(1)、求这一户型的均价平均每年下调的百分率；

(2)、进入2022年后小王得知该户型仍有少量库存在售，单价较2021年的均价再次下调相同的百分率.小王计算了一下自己的资金，在过去的24个月中，每月固定存相相同数量的资金（存入的资金是100的整数倍），加上原有积蓄30万元，还可以向银行贷款50万元，可以凑齐房款，请问小王在过去的两年中每月至少固定存入多少钱？

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10. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 6 cm$ ， $B C = 8 cm$ ，点P从点A出发沿边 $A C$ 向点C以 $1 cm/s$ 的速度移动，点Q从C点出发沿 $C B$ 边向点B以 $2 cm/s$ 的速度移动．

(1)、如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 $△ P C Q$ 的面积为8平方厘米？

(2)、点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 $△ P C Q$ 的面积等于 $△ A B C$ 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

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11. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $A B = A D = 10 cm$ ， $B C = 8 cm$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $3 cm$ 的速度沿折线 $A B C D$ 方向运动，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，以每秒 $2 cm$ 的速度沿线段 $D C$ 方向向点 $C$ 运动．已知动点 $P$ 、 $Q$ 同时出发，当点 $Q$ 运动到点 $C$ 时， $P$ 、 $Q$ 运动停止，设运动时间为 $t$ ．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、当四边形 $P B Q D$ 为平行四边形时，求四边形 $P B Q D$ 的周长；

(3)、在点 $P$ 、点 $Q$ 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 $△ B P Q$ 的面积为 $20 {cm}^{2}$ ？若存在，请求出所有满足条件的 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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12. 定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．

(1)、尝试：如图1，在3×3的正方形网格图形中，已知点A、点B是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求A、B是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；

(2)、推理：如图2，已知△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，∠AOD＝∠BOC＝90°，连结AB，CD，求证：四边形ABCD是等线四边形；

(3)、拓展：如图3，已知四边形ABCD是等线四边形，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝60°，AB＝ $\sqrt{7}$ ，BC＝ $\sqrt{3}$ ，AD＝2．求CD的长．

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13. 如图直角坐标系中直线AB与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已知B（0，4），∠BAO＝30°，P，Q分别是线段OB，AB上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）．

(1)、求线段AB的长，及点A的坐标；

(2)、t为何值时，△BPQ的面积为2 $\sqrt{3}$ ；

(3)、若C为OA的中点，连接QC，QP，以QC，QP为邻边作平行四边形PQCD，
①t为何值时，点D恰好落在坐标轴上；

②是否存在时间t使x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1：3的两部分，若存在，直接写出t的值．

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14. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3cm，点H为AC边上的一点，且AH=2HC，点P从点A出发以每秒2cm的速度沿AB方向运动，同时点Q从点B出发以每秒1cm速度沿BC方向运动，点Q与点E关于AC对称，以QP、QE为邻边作平行四边形PQEF，当PF经过点H时，PQ同时停止运动，设运动的时间为t秒。

(1)、求线段PF的长度（用t的代数式表示）．

(2)、如图2，连接HF、HP，是否存在以HF为腰的等腰△PHF，若存在，求出相应的t的值，若不存在，请说明理由．

(3)、如图3，连接AF，当PH∥AF时，则PH= ．（直接写出答案）

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15. 小明同学在学完第十八章《平行四边形》后，研究了数学教材第64页的数学活动1，其内容如下：如果我们身旁没有量角器或三角尺，有需要做60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．
小亮同学在小明研究的基础上，再次动手操作（如图2），（3）将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请根据小明和小亮的探究，解答下列问题：

(1)、请写出线段BE和BN的数量关系；

(2)、请求出∠ABM的度数；

(3)、请判断四边形BGHM的特殊形状，并说明理由．

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16. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ， $A C = 30 c m$ ，点 $D$ 从点 $C$ 出发沿 $C A$ 方向以 $2 c m /$ 秒的速度向点 $A$ 匀速运动，同时点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 方向以 $1 c m /$ 秒的速度向点 $B$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点 $D$ 、 $E$ 运动的时间是 $t$ 秒 $(0 < t \leq 15)$ ．过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ ， $E F$ ．

(1)、线段 $A E$ 与 $D F$ 大小关系是： $A E$ $D F$ ，（填“ $<$ ”或“ $=$ ”、“ $>$ ”号）

(2)、四边形 $A E F D$ 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 $t$ 值，如果不能，说明理由．

(3)、当t为何值时， $Δ D E F$ 为直角三角形？请说明理由．

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17. 如图①②③，平面内三点O，M，N.如果将线段OM绕点O旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“等直点”，如果OM绕点O顺时针旋转90°得ON，称点N是点M关于点0的“正等直点”，如图②.

(1)、如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.
①在 $P_{1}$ （－1，2）， $P_{2}$ （2，－1）， $P_{3}$ （1，－2）三点中， ▲ 是点P关于原点O的“等直点”：
②若直线 $l_{1}$ ： $y = k x + 4$ 交 $y$ 轴于点M，若点N是直线 $l_{1}$ 上一点，且点N是点M关于点P的“等直点”，求直线 $l_{1}$ 的解析式：

(2)、如图3，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线 $l_{2}$ ： $y = 3 x$ 上，若点B关于点A的“正等直点”C在坐标轴上，D是平面内一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标.

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18. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE=CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）.将线段EP绕点E顺时针旋转90得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q.

(1)、如图①，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，则线段BP，QC，EC的数量关系为；

(2)、如图②，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)、若正方形ABCD的边长为6，AB=3DE，CQ=1，请直接写出线段BP的长.

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19. 已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF.

(1)、根据题意补全图形，并证明：MB＝ME；

(2)、若AM＝ $\sqrt{2}$ ，求CF的长；

(3)、用等式表示线段AM， BM， DM之间的数量关系，并证明.

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20. 已知正方形ABCD， E、F分别在DC、BC上，DE＝CF， AE、 DF相交于点G.

(1)、求证：AE⊥DF；

(2)、当E是DC中点时，求证：AB＝BG.

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21. 如图1，已知 $▱$ ABCD，∠A＝∠BEF＝a，E为AD边上一点，F为DC边上一点，BE＝EF.

(1)、求证：∠ABE＝∠DEF

(2)、如图1，若a＝45°，AE＝5， DE＝1，求 $▱$ ABCD的面积；

(3)、如图2，若a＝30°，AE＝4，DE＝2 $\sqrt{3}$ .求线段BE的长.

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22. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4.

(1)、如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长；

(2)、如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；

(3)、如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长.

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23. 已知在等边三角形ABC中，E、F分别是BC、AC上的两点，连结AE、BF交于D， $B E = C F$ ．

(1)、如图1，求 $∠ A D F$ 的度数；

(2)、如图2，G是AB上一点，连结CG交AE、BF于点H、I，若 $2 ∠ H I D + ∠ B A E = 2 ∠ A D F$ ，求证： $2 ∠ A C G = 3 ∠ F B C$ ；

(3)、在（2）的条件下， $A D = 4 \sqrt{3}$ ， $A C = 10$ ，求AH的长．

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24. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在射线CB上取一点E，使得BE＝2BC＝20，当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E. 在线段QC上取点F，使得QF＝2，连结PF，记AP＝ $x$ （ $x \geq \frac{2}{3}$ ）.

(1)、①CF＝ ▲（用含 $x$ 的式子表示）
②若PF⊥BC，求BQ的长.

(2)、若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出 $x$ 的值.

(3)、当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出 $x$ 的值.

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25. 正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H.

(1)、如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE；

(2)、在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2.联结DF、EF.设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y；

(3)、如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长.

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26. 我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”.

(1)、如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求证：四边形ABCD是“准筝形”；

(2)、如图2，在“准筝形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝4，CD＝3，求AC的长；

(3)、如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，AB＝3－ $\sqrt{3}$ ，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积.

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27. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上

(1)、线段AB的长度＝；

(2)、请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在∠ABC的平分线上找一点P，在BC上找一点Q，使CP+PQ的值最小，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的 ▲ （不要求证明）.

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28. 如图，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的边 $A B =$ 2，且 $A B / / x$ 轴，顶点 $A$ 的坐标为 $(1 ， b)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(2 ， b + 1)$ .

(1)、点 $B$ 的坐标是，点 $C$ 的坐标是；(用含 $b$ 的式子表示)

(2)、若双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 过 $□ A B C D$ 的顶点 $B$ 和 $D$ ，求该双曲线的表达式；

(3)、若 $▱ A B C D$ 与双曲线 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 总有公共点，写出 $b$ 的取值范闱.

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29. 正方形ABCD中，E是对角线BD 上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE.

(1)、如图，已知点F在线段BC上，①若AB=BE，求∠DAE度数；②求证：CE=EF.

(2)、已知正方形的边长为2，且BC=2BF，请直接写出线段 DE的长.

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30. 如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG//CD交BE于点G，连结CG.

(1)、求证：四边形CEFG是菱形；

(2)、若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积.

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