初中数学浙教版八下数学综合题优生特训4

试卷更新日期：2022-06-11 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 如图，将矩形 ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形 EFGH.

(1)、判断四边形EFGH的形状，并说明理由；

(2)、若EH=5，EF=12，则矩形ABCD的面积是.

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2. 如图，延长▱ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连结AE，交BC于点F，连结AC，BE.

(1)、求证：BF=CF；

(2)、若AB=2，AD=4，且∠AFC= 2∠D，求 $▱$ ABCD的面积.

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3. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E.

(1)、若CE=4，AE=2BE，求菱形ABCD的周长.

(2)、连结BD交CE于点F.
①若DF=BF＋2EF，求证：AE=BE.

②设四边形AEFD和 $△ C D F$ 的面积分别是 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，若 $A E = 4 ， S_{1} - S_{2} = 2 \sqrt{2}$ ，求线段BF的长.

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4. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，P是AB上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.

(1)、求证：四边形EPFC是矩形.

(2)、当点P运动到时，四边形EPFC是正方形.

(3)、求证：DE=DF.

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5. 已知四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB的延长线于点F，连结BE.

(1)、如图1，求证：∠AFD=∠EBC.

(2)、如图2，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数.

(3)、若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数.(只写出条件与对应的结果)

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6. 如图，以矩形OABC的顶点О为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.已知OA=2，OC=4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF.

(1)、若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；

(2)、若点D在OA的延长线上，且EA=EB，求点E的坐标.

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7. 如图，以△ABC的边AB，AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形.

(1)、当∠BAC满足什么条件时， $▱$ ADFE是矩形？请说明理由.

(2)、当∠BAC满足什么条件时， $▱$ ADFE不存在？请说明理由.

(3)、当△ABC满足什么条件时， $▱$ ADFE是菱形？当△ABC满足什么条件时， $▱$ ADFE是正方形？直接给出答案.

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8. 准备一张矩形纸片，按如图所示的方式操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处.

(1)、求证：四边形BFDE是平行四边形.

(2)、若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积.

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9. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.

(1)、求证：BE=CD.

(2)、连结BF，若BF⊥AE，∠E=60°，AB=4，求 $▱$ ABCD的面积。

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10. 在一元二次方程x²-2ax+b=0中，若a²-b>0，则称a是该方程的中点值.

(1)、方程x²-8x+3=0的中点值是.

(2)、当a²-b>0时，x₁ ， x₂为方程x²-2ax+b=0的两个根，求证：x₂-a=a-x₁.

(3)、已知x²-mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值.

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11. 在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF.

(1)、如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF=EM；

(2)、如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF=BE＋DF.

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12. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 5$ ，点 $E$ 为 $B C$ 上的点，点 $P$ 矩形内部一动点，连接 $P D$ ， $P B$ ；

(1)、如图一，若满足 $P E ⊥ D E$ ， $∠ P B E = 45 °$ ， $P B = \sqrt{2}$ ， $E C = 1$ ，求证： $P E = D E$ ；

(2)、如图二，当点 $P$ 在线段 $B D$ 上的运动，求 $P E + D E$ 的最小值；

(3)、如图三，若点 $Q$ 为 $A D$ 的中点， $P$ 为矩形内部一动点，连接 $P Q$ ， $P B$ ， $P C$ ，问 $P Q + \sqrt{2} P B + P C$ 是否有最小值，若有请直接写出答案；若没有，请说明理由.

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13. 如图，将矩形ABCD绕点顺A时针旋转α°(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.

(1)、如图1.当点E在BD上时，
①求证：∠BEA=∠BDC；

②连接AF，判断四边形BAFD的形状，并说明理由

(2)、若AB=4，AD= $3 \sqrt{3}$ ，当GC＝GB时，求ED的长度（画出图形，直接写出结果）

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14. 我们已经学习了正比例函数 $y = k x$ 和反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象和性质，下面，我们研究函数 $y = k x + \frac{m}{x}$ 的图象和性质，我们不妨特殊化，设 $k = 1$ ， $m = 1$ ，即 $y = x + \frac{1}{x}$ .

(1)、① 函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的自变量x的取值范围是 ▲ ；
②容易发现，当 $x > 0$ 时， $y > 0$ ；当 $x < 0$ 时， $y < 0$ .由此可见，图象在第 ▲ 象限；

③阅读材料：当 $x > 0$ 时， $y = x + \frac{1}{x} = {(\sqrt{x})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} = {(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} + 2 \geq 2$ .当 $\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 时，即 $x = 1$ ， $y$ 有最小值是2.请仿照上述过程，求出当 $x < 0$ 时， $y$ 的最大值；

(2)、为了画函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象，小明通过列表，描点画出了下图，请连线；

(3)、观察图象，当 $y$ 随着 $x$ 的增大而增大时，自变量x的取值范围是；

(4)、某隧道长185m，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m）与车速v（m/s）的关系式为 $d = \frac{1}{9} v^{2}$ ，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值.

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15. 定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点A，D在直线 $l_{1}$ 上，点B，C在直 $l_{2}$ 上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形.

(1)、如图2，点E是矩形ABCD的边AD上一点，AB＝1，AE＝2.若四边形ABCE为半对角四边形，求AD的长：

(2)、如图3，以▱ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.点E是边AD上一点，满足BC＝AE＋CE.求证：四边形ABCE是半对角四边形；

(3)、在（2）的条件下，当AB＝AE＝ $2 \sqrt{3}$ ，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，求k的值.

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16.

(1)、用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两边同时乘以 $4 a$ 并移项，得到 $4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c$ ，两边再同时加上 $b^{2}$ ，得（ ▲ ）² $= b^{2} - 4 a c$ .请用这样的方法解方程： $3 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ ；

(2)、华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 $x^{2} + b x + c = 0$ ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
$x^{2} + b x + c = (x - m) \cdot (x - n)$ （从这里可以看出方程的解为 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ ）

即 $x^{2} + b x + c = x^{2} - (m + n) x + m n$

因为 $m + n = - b$ ，所以 $m$ 、 $n$ 的平均数为 $- \frac{b}{2}$ ，不妨设 $m = - \frac{b}{2} + p$ ， $n = - \frac{b}{2} - p$ ，

利用 $x_{1} \cdot x_{2} = m n$ ，得 $(- \frac{b}{2} + p) \cdot (- \frac{b}{2} - p) = c$ ，所以 ${(- \frac{b}{2})}^{2} - p^{2} = c$ ，即能求出 $p$ 的值.

举例如下：解一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ ，由于 $- \frac{b}{2} = 1$ ，所以方程的两个根为 $1 \pm p$ ，而 $1^{2} - p^{2} = - 4$ ，解得 $p = \pm \sqrt{5}$ ，所以方程的解为 $x_{1} = 1 + \sqrt{5}$ ， $x_{2} = 1 - \sqrt{5}$ .

请运用以上方法解如下方程① $x^{2} - 2 \sqrt{3} x - 4 = 0$ ；② $3 x^{2} - \sqrt{11} x + \frac{1}{2} = 0$

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17. 如图

(1)、如图①，在正方形 $A B C D$ 中， $△ A E F$ 的顶点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $C D$ 上. $A G ⊥ E F$ 垂足为 $G$ 且 $A G = A B$ ，求 $∠ E A F$ 的度数.

(2)、如图②在 $Rt △ A B D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ，点 $M$ 、 $N$ 是 $B D$ 上的任意两点，且 $∠ M A N = 45 °$ ，将 $△ A B M$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 至 $△ A D H$ 位置，连接 $N H$ ，试判断线段 $M N$ 、 $N D$ 、 $D H$ 之间的数量关系，并说明理由.

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18. 如图

如图1，已知点 $A (a ， 0)$ ， $B (0 ， b)$ ，且 $a$ 、 $b$ 满足 $\sqrt{2 a + 2} + {(a + b + 3)}^{2} = 0$ 处于平行四边形 $A B C D$ 的边 $A D$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，且 $E$ 为 $A D$ 中点，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过 $C$ 、 $D$ 两点.

(1)、 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、求 $D$ 点的坐标；

(3)、点 $P$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上，点 $Q$ 在 $y$ 轴上（如图2），若以点 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 $Q$ 的坐标；

(4)、以线段 $A B$ 为对角线作正方形 $A F B H$ （如图3），点 $T$ 是边 $A F$ 上一动点， $M$ 是 $H T$ 的中点， $M N ⊥ H T$ ，交 $A B$ 于 $N$ ，当 $T$ 在 $A F$ 上运动时， $\frac{M N}{H T}$ 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，A （6，0）、B（0， 4）是矩形OACB的两个顶点，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0，x>0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的另一个交点，

(1)、点D的坐标为，点E的坐标为.

(2)、动点P在第一象限内，且满足 $S_{△ P B O} = \frac{8}{9} S_{△ O D E}$ .
①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

②连接PO、PE，当PO-PE的值最大时，求点P的坐标；

③若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标.

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20. 如图

(1)、（探究新知）如图1，已知 $△ A B C$ 与 $△ A B D$ 的面积相等，试判断 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系，并说明理由.

(2)、（结论应用）如图2，点M，N在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，过点M作 $M E ⊥ y$ 轴，过点N作 $N F ⊥ x$ 轴，垂足分别为E，F.试证明： $M N // E F$ .

(3)、（拓展延伸）若第（2）问中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的位置，如图3所示， $M N$ 与x轴、y轴分别交于点A、点B，若 $B M = 5$ ，请求 $A N$ 的长.

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21. 如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m$ ， $A D = 8 c m$ ， $E$ 为 $A B$ 上一点， $F$ 为 $A B$ 延长线上一点，且 $B F = a c m$ .点 $P$ 从 $A$ 点出发，沿 $A D$ 方向以 $4 c m / s$ 的速度向 $D$ 运动，连结 $P E$ 、 $P F$ ， $P F$ 交 $B C$ 于点 $H$ .设点 $P$ 运动的时间为 $t (s)$ ， $Δ P A E$ 的面积为 $y (c m^{2})$ ，当 $0 \leq t \leq 1$ 时， $Δ P A E$ 的面积 $y (c m^{2})$ 关于时间 $t (s)$ 的函数图象如图2所示.

(1)、 $A E$ 的长是 $c m$ ；

(2)、当 $a = 2 c m$ ， $Δ P A E \sim Δ F A P$ 时，求 $t$ 的值；

(3)、如图3，将 $Δ H B F$ 沿线段 $B F$ 进行翻折，与 $C B$ 的延长线交于点 $M$ ，连结 $A M$ ，当 $t$ 为何值时，四边形 $P A M H$ 为菱形？

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22. 夏天到了，宁波人最惦记的水果——杨梅进入成熟期，一水果店老板进行杨梅销售，已知杨梅进价为25元/千克.如果售价为30元/千克，那么每天可售出150千克：如果售价为32元/千克，那么每天可售出130千克.经调查发现：每天销售量 $y$ (千克）与售价 $x$ (元/千克)之间存在一次函数关系.

(1)、求出 $y$ 关于 $x$ 的一次函数关系式；

(2)、若杨梅售价不得高于36元/千克，该店主销售杨梅每天要获得960元的毛利润，则销售单价应定为多少元/千克?（毛利润=销售额-进货成本〉

(3)、设杨梅每天销售的毛利润为 $W$ 元，当杨梅的售价定为多少元/千克时，每天销售获得的毛利润最大?最大毛利润是多少元?

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23. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{5}$ ，E为正方形 $A B C D$ 内一点， $D E = A B$ ， $∠ E D C = α$ $(0 ° < α < 90 °)$ ，连结 $C E$ ， $A E$ ，过点D作 $D F ⊥ A E$ ，垂足为点F，交 $C E$ 的延长线于点G，连结 $A G$ .

(1)、当 $α = 20 °$ 时，求 $∠ D A E$ 的度数.

(2)、判断 $△ A E G$ 的形状，并说明理由.

(3)、当 $G F = 1$ 时，求 $C E$ 的长.

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A D = 12$ ， $A B > A D$ ，线段 $A B$ 上有一动点 $E$ ，连接 $D E$ ，将 $△ D E A$ 沿 $D E$ 折叠到 $△ D E A^{'}$ .

(1)、如图①，若 $A B = 16$ ，当 $A^{'}$ 落在 $B D$ 上时，求 $A E$ 的长；

(2)、如图②， $G$ 、 $H$ 、 $K$ 分别是线段 $D A$ 、 $D A^{'}$ 、 $E A^{'}$ 的中点，当点 $E$ 在 $A B$ 边上运动时， $∠ G H K$ 的度数是否会发生变化？若不变，求出这个度数；若变化，请说明理由；

(3)、如图③，点 $M$ 、 $N$ ，分别在线段 $D E$ 、 $A D$ 上，连接 $A M$ 、 $M N$ ，当 $∠ A D E = 30 °$ 时，求 $A M + M N$ 的最小值.

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25. 如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH。

(1)、求证：四边形EFCH是矩形：

(2)、若AH=2，HD=3，求四边形EFCH的面积。

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26. 我们定义：有一组对边相等，另一组对边不相等的凸四边形叫做“单等对边四边形”。

(1)、如图1，在 $▱$ ABCD中，点E为AB上不与点A，B重合的一点，CE=CB。
求证：四边形AECD为单等对边四边形；

(2)、如图2，在8×10的网格中，顶点A、B、C均是格点，请在此网格内找格点D，使四边形ABCD为单等对边四边形，请你在网格中画出所有满足条件的点D；

(3)、如图3，在单等对边四边形ABCD中，AB=CD，BC=1，CD=5，∠BCD=90°，若单等对边四边形ABCD内有一点P，使四边形ABCP为平行四边形，且 $▱$ ABCP与四边形ABCD的面积比为1：3，求 $▱$ ABCP的面积。

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27.

(1)、（发现证明）
问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，求证： $E F = D F + B E$ .

观察：EF、DF、BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？

思路：将 $△ A B E$ 绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的 $△ A D G$ .

①根据上述思路在图1中画图分析并证明（写出详细的证明过程）.

②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？（写出详细的解答过程）

(2)、（类比迁移）
若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，EF、BE、DF三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究.

①如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，EF、BE、DF之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程.

②如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD延长线上的动点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，则EF、BE、DF之间的数量关系是 ▲ （直接写出关系式，无需证明）.

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28. 已知：如图1，函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 和 $y_{2} = \frac{x}{k} (k > 1)$ 的图象相交于点 $A$ 和点 $B$ .

(1)、求点 $A$ 和点 $B$ 的坐标（用含 $k$ 的式子表示）；

(2)、如图2，点 $C$ 的坐标为 $(1 ， k)$ ，点 $D$ 是第一象限内函数 $y_{1}$ 的图象上的动点，且在点 $A$ 的右侧，直线 $A C$ 、 $B C$ 、 $A D$ 、 $B D$ 分别与 $x$ 轴相交于点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ .
①判定 $△ C E F$ 的形状，并说明理由；

②点 $D$ 在运动的过程中， $∠ C A D$ 和 $∠ C B D$ 的度数和是否变化？如果变化，说明理由；如果不变，求出 $∠ C A D$ 和 $∠ C B D$ 的度数和.

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29. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{3} ， B C = 9$ ，沿 $E F$ 折叠后，点 $C$ 落在 $A B$ 边上的点 $P$ 处，点 $D$ 落在点 $Q$ 处， $A D$ 与 $P Q$ 相交于点 $H$ ， $∠ Q H F = 30^{\circ}$ .

(1)、求 $B E 、 Q F$ 的长；

(2)、求四边形 $P E F H$ 的面积.

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30. 定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.

(1)、在三等角四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C$ ，则 $∠ A$ 的取值范围为；

(2)、如图1，折叠平行四边形 $D E B F$ ，使得顶点 $E ， F$ 分别落在边 $B E ， B F$ 上的点 $A ， C$ 处，折痕为 $D G 、 D H$ .求证：四边形 $A B C D$ 为三等角四边形；

(3)、如图 $2$ ，在三等角四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C$ ，若 $A B = 5$ ， $A D = \sqrt{26}$ ， $D C = 7$ ，则 $B C$ 的长度为.

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