初中数学浙教版八下数学综合题优生特训1

材料一：把根式 $\sqrt{x\pm 2\sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m、n，是 $m^2+n^2=x$ 且 $mn=\sqrt{y}$ ，则把 $x\pm 2\sqrt{y}$ 变成 $m^2+n^2\pm 2mn={\left(m\pm n\right)}^2$ ，开方，从而使得 $\sqrt{x\pm 2\sqrt{y}}$ 化简.

例如：化简 $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$

  解：∵ $3+2\sqrt{2}=1+2+2\sqrt{2}=1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\times 1\times \sqrt{2}={\left(1+\sqrt{2}\right)}^2$

  ∴ $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2}=1+\sqrt{2}$

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 $y\text{'}=\{\begin{array}{l}y，\left(x\ge 0\right)\hfill \\ -y，\left(x<0\right)\hfill \end{array}$ ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ $-2$ ，5）的“横负纵变点”为（ $-2$ ， $-5$ ）.

  请选择合适的材料解决下面的问题：

① $\sqrt{5^2-4^2}=1\times 3$ .

② $\sqrt{{17}^2-8^2}=3\times 5$ .

③ $\sqrt{{37}^2-{12}^2}=5\times 7$ .

根据上述等式的规律解次下列问题：

如图，在函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上任取两点 $A$ 、 $B$ 向坐标轴作垂直，连接垂足 $C$ 、 $D$ 或 $E$ 、 $F$ ，则一定有如下结论： $AB\text{//}CD$ ， $AB\text{//}EF$ .

∵$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\mathrm{(}2+\sqrt{3}\mathrm{)}\mathrm{(}2-\sqrt{3}\mathrm{)}}=2-\sqrt{3}$ ，

∴$a-2=-\sqrt{3}$ ．

∴（a﹣2）²＝3，即a²﹣4a+4＝3．

∴a²﹣4a＝﹣1．

∴2a²﹣8a+1＝2（a²﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；

$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\sqrt{2}-1$ ．

以上这种将分母中含有的根号化去的过程叫做分母有理化其中$\sqrt{2}$与$\sqrt{2}-1$分别称为$\sqrt{2}$与$\sqrt{2}+1$的有理数化因式．

恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.

例如：当$x=\sqrt{3}+1$时，求$\frac{1}{2}{x}^3-x^2-x+2$的值.

为解答这道题，若直接把$x=\sqrt{3}+1$代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.

方法：将条件变形，因$x=\sqrt{3}+1$ ， 得$x-1=\sqrt{3}$ ， 再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.

由$x-1=\sqrt{3}$ ， 可得$x^2-2x-2=0$ ， 即$x^2-2x=2$ ， $x^2=2x+2$.

原式$=\frac{1}{2}x(2x+2)-x^2-x+2=x^2+x-x^2-x+2=2$.

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{5}{3}\sqrt{3}$ ①

$\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2\times 3}{3\times 3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ②

$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{{(\sqrt{3})}^2-1^2}=\sqrt{3}-1$ ③

以上这种化简的方法称之为分母有理化.

$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ 还可以用以下方法化简：

$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{{(\sqrt{3})}^2-1^2}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$ ④

像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．

解决下列问题：

$3+2\sqrt{2}=1^2+2\times 1\times \sqrt{2}+{(\sqrt{2})}^2={(1+\sqrt{2})}^2$ ．请你仿照小明的方法解决下列问题：

设a+b=（m+n $\sqrt{2}$ ）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b $\sqrt{2}$ =m²+2n²+2mn $\sqrt{2}$ ．

∴a=m²+2n² ， b=2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．

 例如：化简 $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ ．

 解：将分子、分母同乘以 $\sqrt{2}+1$ 得： $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$ ．

（阅读理解）

阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．

化简： ${(\sqrt{1-3x})}^2-|1-x|$

解：隐含条件 $1-3x⩾0$ 解得： $x⩽\frac{1}{3}$

$\therefore 1-x>0$

$\therefore$ 原式 $=(1-3x)-(1-x)$

$=1-3x-1+x$

$=-2x$

基本不等式 $\sqrt{ab}$ ≤ $\frac{a+b}{2}$ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.

例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+ $\frac{1}{x}$ 有最小值，最小值是多少？

解：∵x＞0， $\frac{1}{x}$ ＞0∴ $\frac{x+\frac{1}{x}}{2}$ ≥ $\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}$ ，即 $x+\frac{1}{x}$ ≥2 $\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}$ ，∴ $x+\frac{1}{x}$ ≥2

当且仅当x＝ $\frac{1}{x}$ ，即x＝1时，x+ $\frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如a²±2ab+b²＝（a±b）² ， 那么 $\sqrt{a^2\pm 2ab+b^2}=\left|a\pm b\right|$ ，如何将双重二次根式 $\sqrt{5\pm 2\sqrt{6}}$ 化简.我们可以把 $5\pm 2\sqrt{6}$ 转化为 ${\left(\sqrt{3}\right)}^2\pm 2\sqrt{6}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\pm \sqrt{2}\right)}^2$ 完全平方的形式，因此双重二次根式 $\sqrt{5\pm 2\sqrt{6}}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\pm \sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{3}\pm \sqrt{2}$ 得以化简.

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若 $\text{<msup>y <mn>'</mn></msup>}=\{\begin{array}{l}y(x\ge 0)\hfill \\ -y(x<0)\hfill \end{array}$ 则称点Q为点P的“横负纵变点”.例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5).问题：

$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1，\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}，\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}，\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$ …

细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：

（ $\sqrt{1}$ ）²＋1＝2，S₁＝ $\frac{\sqrt{1}}{2}$ ；（ $\sqrt{2}$ ）²＋1＝3，S₂＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；（ $\sqrt{3}$ ）²＋1＝4，S₃＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；….

设 $a+b\sqrt{3}={(m+n\sqrt{3})}^2$ （其中a，b，m，n均为整数），则有 $a+b\sqrt{3}=m^2+3n^2+2mn\sqrt{3}$ ，所以 $a=m^2+3n^2$ ， $b=2mn$ ，这样小明找到了一种类似 $a+b\sqrt{3}$ 的式子化为平方式的方法．

请仿照小明的方法探索解决下列问题：

设a+b $\sqrt{2}={\left(m+n\sqrt{2}\right)}^2$ (其中a、b、m、n均为整数)，

则有：a+b $\sqrt{2}=m^2+n^2+2mn\sqrt{2}$ ，∴a＝m²+2n² ， b＝2mn ， 这样小明就找到了一种把类似a+b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：