2022年高考文数真题试卷（全国乙卷）

试卷更新日期：2022-06-10 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合 $M = {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10} ， N = {x | - 1 < x < 6}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${2 ， 4 ， 6}$ C、 ${2 ， 4 ， 6 ， 8}$ D、 ${2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10}$

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2. 设 $(1 + 2 i) a + b = 2 i$ ，其中 $a ， b$ 为实数，则（）

A、 $a = 1 ， b = - 1$ B、 $a = 1 ， b = 1$ C、 $a = - 1 ， b = 1$ D、 $a = - 1 ， b = - 1$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， 4)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：

则下列结论中错误的是（）

A、甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B、乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8 C、甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4 D、乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

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5. 若x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y ⩾ 2 ， \\ x + 2 y ⩽ 4 ， \\ y ⩾ 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值是（）

A、 $- 2$ B、4 C、8 D、12

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6. 设F为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点A在C上，点 $B (3 ， 0)$ ，若 $| A F | = | B F |$ ，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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7. 执行下边的程序框图，输出的 $n =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间 $[- 3 ， 3]$ 的大致图像，则该函数是（）

A、 $y = \frac{- x^{3} + 3 x}{x^{2} + 1}$ B、 $y = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ C、 $y = \frac{2 x \cos x}{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{2 \sin x}{x^{2} + 1}$

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9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $A B ， B C$ 的中点，则（）

A、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ B、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ C、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} A C$ D、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前3项和为168， $a_{2} - a_{5} = 42$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、14 B、12 C、6 D、3

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11. 函数 $f (x) = \cos x + (x + 1) \sin x + 1$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 的最小值、最大值分别为（）

A、 $- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}$ B、 $- \frac{3π}{2} ， \frac{π}{2}$ C、 $- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2} + 2$ D、 $- \frac{3π}{2} ， \frac{π}{2} + 2$

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12. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．若 $2 S_{3} = 3 S_{2} + 6$ ，则公差 $d =$ ．

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14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．

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15. 过四点 $(0 ， 0) ， (4 ， 0) ， (- 1 ， 1) ， (4 ， 2)$ 中的三点的一个圆的方程为．

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16. 若 $f (x) = \ln | a + \frac{1}{1 - x} | + b$ 是奇函数，则 $a =$ ， $b =$ ．

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ ．

(1)、若 $A = 2 B$ ，求C；

(2)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

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18. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D = C D ， ∠ A D B = ∠ B D C$ ，E为AC的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面ACD；

(2)、设 $A B = B D = 2 ， ∠ A C B = 60 °$ ，点F在BD上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求三棱锥 $F - A B C$ 的体积．

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19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：

m^{2}

）和材积量（单位：

m^{3}

），得到如下数据：

样本号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积 $x_{i}$	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量 $y_{i}$	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得 $\sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2} = 0.038 ， \sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 1.6158 ， \sum_{i=1}^{10} x_{i} y_{i} = 0.2474$ ．

附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i =1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i =1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i =1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} ， \sqrt{1.896} \approx 1.377$ ．

(1)、估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)、求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

(3)、现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为

{186m}^{2}

．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

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20. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个零点，求a的取值范围．

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21. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 $A (0 ， - 2) ， B (\frac{3}{2} ， - 1)$ 两点．

(1)、求E的方程；

(2)、设过点 $P (1 ， - 2)$ 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 $\vec{M T} = \vec{T H}$ ．证明：直线HN过定点．

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四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{cases} x = \sqrt{3} \cos 2 t ， \\ y = 2 \sin t \end{cases}$ （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{3}) + m = 0$ ．

(1)、写出l的直角坐标方程；

(2)、若l与C有公共点，求m的取值范围．

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23. 已知a，b，c都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$ ，证明：

(1)、 $a b c \leq \frac{1}{9}$ ；

(2)、 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$ ．

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