高中数学2021-2022高一下学期期末复习题

试卷更新日期：2022-06-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} | = 3$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 4 \vec{b})$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{29}$ C、 $\sqrt{35}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 3 - 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、5 C、7 D、25

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3. 如图，测量塔高 $O T$ ，测量小组选取与塔底 $O$ 在同一水平面内的两个测量点 $A$ 和 $B$ ，现测得 $∠ O B A = 105 °$ ， $∠ O A B = 45 °$ ， $A B = 45 m$ ，在点 $B$ 处测得塔顶 $T$ 的仰角为 $30 °$ ，则塔高 $O T$ 为（）

A、 $15 \sqrt{6} m$ B、 $45 \sqrt{6} m$ C、 $\frac{15 \sqrt{2}}{2} m$ D、 $\frac{45 \sqrt{2}}{2} m$

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4. 已知 $\frac{s i n α + 2 c o s α}{s i n α - c o s α} = 2$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{8}{17}$ B、 $\frac{8}{17}$ C、 $- \frac{8}{15}$ D、 $\frac{8}{15}$

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5. 已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[11 ， 16]$ B、 $[11 ， 15]$ C、 $[12 ， 15]$ D、 $[11 ， 14]$

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6. 已知 $s i n α - c o s α = t a n \frac{19 π}{6}$ ，则 $s i n^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $b s i n 2 A + \sqrt{2} a s i n B = 0$ ， $b = \sqrt{2} c$ ，则 $\frac{s i n A}{s i n C}$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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8. 已知 $α ， β$ 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若 $α ⊥ β ， l ⊥ β$ ，则 $l ∥ α$ ；②若 $m ⊥ β ， l ∥ m ， l \subset α$ ，则 $α ⊥ β$ ；③若 $α ∥ β ， m ⊥ α ， l \subset β$ ，则 $l ⊥ m$ ﹔④若 $α ∩ β = m ， l ∥ α$ ，则 $l ∥ m$ ．
其中真命题的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、多选题

9. 要得到如图所示图象，可由 $f (x) = s i n x$ 图象经过怎样的变换得到（）

A、每个点横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将横坐标向右平移 $\frac{11 π}{12}$ 个单位，纵坐标不变 B、每个点横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将横坐标向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，纵坐标不变 C、横坐标向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，纵坐标不变，再将每个点横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变 D、横坐标向左平移 $\frac{23 π}{6}$ 个单位，纵坐标不变，再将每个点横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变

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10. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则下列四个结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $A D_{1}$ 为异面直线 B、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A C D_{1}$ C、 $∠ A_{1} C_{1} B = 45 °$ D、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球体积为 $32 \sqrt{3} π$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为π B、函数 $f (x)$ 的对称轴方程为 $x = k π + \frac{5 π}{12}$ （ $k \in Z$ ） C、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 D、方程 $f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在[0，10]内有7个根

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12. 已知向量 $\vec{a} = (- 4 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 时， $t = 4$ B、当 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 时， $t = 1$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角时，则 $t$ 的取值范围为 $(4 ， + \infty)$ D、当 $t = 2$ 时， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- 1 ， - 1)$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{3})$ 在 $(0 ， m)$ 上的值域为 $(\frac{1}{2} ， 1]$ ，则m的取值范围是．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (t ， 2)$ ， $\vec{b} = (- t ， 1)$ ，满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则t＝．

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15. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3， $\sin A = 2 \sin B \cos C$ ，则△ABC外接圆的半径为．

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16. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形，面 $P A D ⊥$ 面ABCD， $P A = P D = A D = 3$ ， $A B = 4$ ，则四棱锥ABCD的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ ．

(1)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ；

(2)、若 $a = 5 ， \cos A = \frac{25}{31}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B$ ， $P B ⊥ P C$ ， $P C ⊥ P A$ ， $P A = P B = P C = 2$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，点 $F$ 在线段 $P C$ 上.

(1)、求证： $P B ⊥ A C$ ；

(2)、若 $P A ∕ ∕$ 平面 $B E F$ ，求四棱锥 $B - A P F E$ 的体积.
(参考公式：锥体的体积公式 $V = \frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 是底面积， $h$ 是高.)

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19. 已知函数 $f (x) = s i n x (\sqrt{3} s i n x + c o s x)$ ．

(1)、求 $f (\frac{7 π}{6})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间．

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20. 求证：

(1)、 $s i n θ (1 + c o s 2 θ) = s i n 2 θ \cdot c o s θ$ ；

(2)、 $\frac{t a n (α + β) - t a n α}{1 + t a n α \cdot t a n (α + β)} = \frac{s i n 2 β}{2 c o s^{2} β}$ ．

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21. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1) ， \vec{b} = (- 3 ， 4) ， \vec{c} = (1 ， 2)$

(1)、若 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，求实数λ，u的值；

(2)、若 $(m \vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，求 $m \vec{b} + \vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 夹角的余弦值.

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22. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面ABCD，E为 $A A_{1}$ 中点， $A A_{1} = A B = 2$ .

(1)、求证： $A C_{1} ∥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ；

(2)、求三棱锥 $A - B_{1} D_{1} E$ 的体积；

(3)、在 $A C_{1}$ 上是否存在点M，满足 $A C_{1} ⊥$ 平面 $M B_{1} D_{1}$ ？若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由.

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