2022年高考理数真题试卷（全国甲卷）

试卷更新日期：2022-06-10 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $\frac{z}{z \bar{z} - 1} =$ （）

A、 $- 1 + \sqrt{3} i$ B、 $- 1 - \sqrt{3} i$ C、 $- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} i$ D、 $- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} i$

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2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（）

A、讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B、讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C、讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D、讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

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3. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 2} ， B = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 = 0}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${0 ， 3}$ C、 ${- 2 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 0}$

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4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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5. 函数 $y = (3^{x} - 3^{- x}) \cos x$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x}$ 取得最大值 $- 2$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30 °$ ，则（）

A、 $A B = 2 A D$ B、AB与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 所成的角为 $30 °$ C、 $A C = C B_{1}$ D、 $B_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $45 °$

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8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， $\overset{⌢}{A B}$ 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $C D ⊥ A B$ ．“会圆术”给出 $\overset{⌢}{A B}$ 的弧长的近似值s的计算公式： $s = A B + \frac{C D^{2}}{O A}$ ．当 $O A = 2 ， ∠ A O B = 60 °$ 时， $s =$ （）

A、 $\frac{11 - 3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{11 - 4 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9 - 4 \sqrt{3}}{2}$

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9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2 π$ ，侧面积分别为 $S_{甲}$ 和 $S_{乙}$ ，体积分别为 $V_{甲}$ 和 $V_{乙}$ ．若 $\frac{S_{甲}}{S_{乙}} = 2$ ，则 $\frac{V_{甲}}{V_{乙}} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{5 \sqrt{10}}{4}$

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10. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 $A P ， A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在区间 $(0 ， π)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{3} ， \frac{13}{6})$ B、 $[\frac{5}{3} ， \frac{19}{6})$ C、 $(\frac{13}{6} ， \frac{8}{3}]$ D、 $(\frac{13}{6} ， \frac{19}{6}]$

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12. 已知 $a = \frac{31}{32} ， b = \cos \frac{1}{4} ， c = 4 \sin \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设向量 $a$ ， $b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 3$ ，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ ．

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14. 若双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 相切，则 $m =$ ．

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15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．

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16. 已知 $△ A B C$ 中，点D在边BC上， $∠ A D B = 120 ° ， A D = 2 ， C D = 2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D =$ ．

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n} + n = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{4} ， a_{7} ， a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D ， C D ∥ A B ， A D = D C = C B = 1 ， A B = 2 ， D P = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ P A$ ；

(2)、求PD与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

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19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)、求甲学校获得冠军的概率；

(2)、用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

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20. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $D (p ， 0)$ ，过 $F$ 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， $| M F | = 3$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、设直线 $M D ， N D$ 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 $M N ， A B$ 的倾斜角分别为 $α ， β$ ．当 $α - β$ 取得最大值时，求直线AB的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - \ln x + x - a$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围；

(2)、证明：若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{2 + t}{6} \\ y = \sqrt{t} \end{array}$ （t为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{2 + s}{6} \\ y = - \sqrt{s} \end{array}$ （s为参数）．

(1)、写出 $C_{1}$ 的普通方程；

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $2 \cos θ - \sin θ = 0$ ，求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标，及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标．

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23. 已知a，b，c均为正数，且 $a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = 3$ ，证明：

(1)、 $a + b + 2 c \leq 3$ ；

(2)、若 $b = 2 c$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq 3$ ．

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