2022年高考文数真题试卷（全国甲卷）

试卷更新日期：2022-06-10 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {x ∣ 0 ⩽ x < \frac{5}{2}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（）

A、讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B、讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C、讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D、讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

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3. 若 $z = 1 + i$ ．则 $| i z + 3 \bar{z} | =$ （）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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5. 将函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 函数 $f (x) = (3^{x} - 3^{- x}) \cos x$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x}$ 取得最大值 $- 2$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30 °$ ，则（）

A、 $A B = 2 A D$ B、AB与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 所成的角为 $30 °$ C、 $A C = C B_{1}$ D、 $B_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $45 °$

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10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2 π$ ，侧面积分别为 $S_{甲}$ 和 $S_{乙}$ ，体积分别为 $V_{甲}$ 和 $V_{乙}$ ．若 $\frac{S_{甲}}{S_{乙}} = 2$ ，则 $\frac{V_{甲}}{V_{乙}} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{5 \sqrt{10}}{4}$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ， $A_{1} ， A_{2}$ 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 $\vec{B A_{1}} \cdot \vec{B A_{2}} = - 1$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$

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12. 已知 $9^{m} = 10 ， a = 10^{m} - 11 ， b = 8^{m} - 9$ ，则（）

A、 $a > 0 > b$ B、 $a > b > 0$ C、 $b > a > 0$ D、 $b > 0 > a$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量 $a = (m ， 3) ， b = (1 ， m + 1)$ ．若 $a ⊥ b$ ，则 $m =$ ．

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14. 设点M在直线 $2 x + y - 1 = 0$ 上，点 $(3 ， 0)$ 和 $(0 ， 1)$ 均在 $⊙ M$ 上，则 $⊙ M$ 的方程为．

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15. 记双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为e，写出满足条件“直线 $y = 2 x$ 与C无公共点”的e的一个值．

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16. 已知 $△ A B C$ 中，点D在边BC上， $∠ A D B = 120 ° ， A D = 2 ， C D = 2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D =$ ．

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数

未准点班次数

A

240

20

B

210

30

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} ⩾ k)$

0.100

0.050

0.010

$k$

2.706

3.841

6.635

(1)、根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

(2)、能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

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18. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n} + n = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{4} ， a_{7} ， a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．

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19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $A B C D$ 是边长为8（单位：cm）的正方形， $△ E A B ， △ F B C ， △ G C D ， △ H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x ， g (x) = x^{2} + a$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处的切线也是曲线 $y = g (x)$ 的切线．

(1)、若 $x_{1} = - 1$ ，求a：

(2)、求a的取值范围．

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21. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $D (p ， 0)$ ，过 $F$ 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， $| M F | = 3$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、设直线 $M D ， N D$ 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 $M N ， A B$ 的倾斜角分别为 $α ， β$ ．当 $α - β$ 取得最大值时，求直线AB的方程．

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四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{2 + t}{6} \\ y = \sqrt{t} \end{array}$ （t为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{2 + s}{6} \\ y = - \sqrt{s} \end{array}$ （s为参数）．

(1)、写出 $C_{1}$ 的普通方程；

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $2 \cos θ - \sin θ = 0$ ，求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标，及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标．

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23. 已知a，b，c均为正数，且 $a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = 3$ ，证明：

(1)、 $a + b + 2 c \leq 3$ ；

(2)、若 $b = 2 c$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq 3$ ．

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	准点班次数	未准点班次数
A	240	20
B	210	30

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635