2022年高考理数真题试卷（全国乙卷）

试卷更新日期：2022-06-10 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合M满足 $∁_{U} M = {1 ， 3}$ ，则（）

A、 $2 \in M$ B、 $3 \in M$ C、 $4 \notin M$ D、 $5 \notin M$

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2. 已知 $z = 1 - 2 i$ ，且 $z + a \bar{z} + b = 0$ ，其中a，b为实数，则（）

A、 $a = 1 ， b = - 2$ B、 $a = - 1 ， b = 2$ C、 $a = 1 ， b = 2$ D、 $a = - 1 ， b = - 2$

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3. 已知向量 $a ， b$ 满足 $| a | = 1 ， | b | = \sqrt{3} ， | a - 2 b | = 3$ ，则 $a \cdot b =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ${b_{n}}$ ： $b_{1} = 1 + \frac{1}{α_{1}}$ ， $b_{2} = 1 + \frac{1}{α_{1} + \frac{1}{α_{2}}}$ ， $b_{3} = 1 + \frac{1}{α_{1} + \frac{1}{α_{2} + \frac{1}{α_{3}}}}$ ，…，依此类推，其中 $α_{k} \in N^{*} (k = 1 ， 2 ， \dots)$ ．则（）

A、 $b_{1} < b_{5}$ B、 $b_{3} < b_{8}$ C、 $b_{6} < b_{2}$ D、 $b_{4} < b_{7}$

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5. 设F为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点A在C上，点 $B (3 ， 0)$ ，若 $| A F | = | B F |$ ，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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6. 执行下边的程序框图，输出的 $n =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $A B ， B C$ 的中点，则（）

A、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ B、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ C、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} A C$ D、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前3项和为168， $a_{2} - a_{5} = 42$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、14 B、12 C、6 D、3

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9. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ ，且 $p_{3} > p_{2} > p_{1} > 0$ ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）

A、p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B、该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C、该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D、该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

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11. 双曲线C的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 $F_{1}$ 作D的切线与C交于M，N两点，且 $\cos ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为R，且 $f (x) + g (2 - x) = 5 ， g (x) - f (x - 4) = 7$ ．若 $y = g (x)$ 的图像关于直线 $x = 2$ 对称， $g (2) = 4$ ，则 ${\sum^{}}_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、-21 B、-22 C、-23 D、-24

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．

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14. 过四点 $(0 ， 0) ， (4 ， 0) ， (- 1 ， 1) ， (4 ， 2)$ 中的三点的一个圆的方程为．

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15. 记函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小正周期为T，若 $f (T) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x = \frac{π}{9}$ 为 $f (x)$ 的零点，则 $ω$ 的最小值为．

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16. 已知 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = 2 a^{x} - e x^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的极小值点和极大值点．若 $x_{1} < x_{2}$ ，则a的取值范围是．

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三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ ．

(1)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ；

(2)、若 $a = 5 ， \cos A = \frac{25}{31}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D = C D ， ∠ A D B = ∠ B D C$ ，E为 $A C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、设 $A B = B D = 2 ， ∠ A C B = 60 °$ ，点F在 $B D$ 上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值．

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19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：

m^{2}

）和材积量（单位：

m^{3}

），得到如下数据：

样本号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积 $x_{i}$	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量 $y_{i}$	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得 $\sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2} = 0.038 ， \sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 1.6158 ， \sum_{i=1}^{10} x_{i} y_{i} = 0.2474$ ．

附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i =1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i =1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i =1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} ， \sqrt{1.896} \approx 1.377$ ．

(1)、估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)、求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

(3)、现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为

{186m}^{2}

．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

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20. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 $A (0 ， - 2) ， B (\frac{3}{2} ， - 1)$ 两点．

(1)、求E的方程；

(2)、设过点 $P (1 ， - 2)$ 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 $\vec{M T} = \vec{T H}$ ．证明：直线HN过定点．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + a x e^{- x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0) ， (0 ， + \infty)$ 各恰有一个零点，求a的取值范围．

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四、选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{cases} x = \sqrt{3} \cos 2 t ， \\ y = 2 \sin t \end{cases}$ （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{3}) + m = 0$ ．

(1)、写出l的直角坐标方程；

(2)、若l与C有公共点，求m的取值范围．

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23. 已知a，b，c都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} = 1$ ，证明：

(1)、 $a b c \leq \frac{1}{9}$ ；

(2)、 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$ ．

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2022年高考理数真题试卷（全国乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．

四、选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．