2022年高考数学真题试卷（北京卷）

试卷更新日期：2022-06-09 类型：高考真卷

进入出卷网下载

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知全集 $U = {x | - 3 < x < 3}$ ，集合 $A = {x | - 2 < x \leq 1}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 $(- 2 ， 1]$ B、 $(- 3 ， - 2) \cup [1 ， 3)$ C、 $[- 2 ， 1)$ D、 $(- 3 ， - 2] \cup (1 ， 3)$

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 3 - 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、5 C、7 D、25

查看试题解析
3. 若直线 $2 x + y - 1 = 0$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 的一条对称轴，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、-1

查看试题解析
4. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + 2^{x}}$ ，则对任意实数 $x$ ，有（）

A、 $f (- x) + f (x) = 0$ B、 $f (- x) - f (x) = 0$ C、 $f (- x) + f (x) = 1$ D、 $f (- x) - f (x) = \frac{1}{3}$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{6})$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{12})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12})$ 上单调递增

查看试题解析
6. 设 ${a_{n}}$ 是公差不为0的无穷等差数列，则“ ${a_{n}}$ 为递增数列”是“存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n > N_{0}$ 时， $a_{n} > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 $T$ 和 $1 g P$ 的关系，其中 $T$ 表示温度，单位是 $K$ ； $P$ 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（）

A、当 $T = 220$ ， $P = 1026$ 时，二氧化碳处于液态 B、当 $T = 270$ ， $P = 128$ 时，二氧化碳处于气态 C、当 $T = 300$ ， $P = 9987$ 时，二氧化碳处于超临界状态 D、当 $T = 360$ ， $P = 729$ 时，二氧化碳处于超临界状态

查看试题解析
8. 若 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ （）

A、40 B、41 C、-40 D、-41

查看试题解析
9. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的六条棱长均为6， $S$ 是 $△ A B C$ 及其内部的点构成的集合，设集合 $T = {Q \in S | P Q ⩽ 5}$ ，则 $T$ 表示的区域的面积为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

查看试题解析
10. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $∠ C = 90 °$ ． $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5 ， 3]$ B、 $[- 3 ， 5]$ C、 $[- 6 ， 4]$ D、 $[- 4 ， 6]$

查看试题解析

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是．

查看试题解析
12. 已知双曲线 $y^{2} + \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m =$ ．

查看试题解析
13. 若函数 $f (x) = A \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的一个零点为 $\frac{π}{3}$ ，则 $A =$ ； $f (\frac{π}{12}) =$ ．

查看试题解析
14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - a x + 1 ， & x < a \\ {(x - 2)}^{2} ， & x ⩾ a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，则 $a$ 的一个取值为； $a$ 的最大值为．

查看试题解析
15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} \cdot S_{n} = 9 (n = 1 ， 2 ， \dots)$ 给出下列四个结论：
① ${a_{n}}$ 的第2项小于3； ② ${a_{n}}$ 为等比数列；

③ ${a_{n}}$ 为递减数列； ④ ${a_{n}}$ 中存在小于 $\frac{1}{100}$ 的项。

其中所有正确结论的序号是．

查看试题解析

三、解答题共6小题，共85分。

16. 在 $△ A B C$ 中， $\sin 2 C = \sqrt{3} \sin C$ ．
（I）求 $∠ C$ ：

（II）若 $b = 6$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

查看试题解析
17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $A B = B C = 2$ ， $M ， N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $A C$ 的中点．

（I）求证： $M N //$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线 $A B$ 与平面 $B M N$ 所成角的正弦值。

条件①： $A B ⊥ M N$ ；

条件②： $B M = M N$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

查看试题解析
18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；

乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；

丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立

（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E X$ ；

（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

查看试题解析
19. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0 ， 1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程：

（Ⅱ）过点 $P (- 2 ， 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $B ， C$ ，直线 $A B ， A C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M ， N$ ，当 $| M N | = 2$ 时，求 $k$ 的值。

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = e^{x} ln (1 + x)$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性；

（III）证明：对任意的 $s ， t \in (0 ， + \infty)$ ，有 $f (s + t) > f (s) + f (t)$ ．

查看试题解析
21. 已知 $Q ： a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{k}$ 为有穷整数数列．给定正整数 $m$ ，若对任意的 $n \in {1 ， 2 ， \dots ， m}$ ，在 $Q$ 中存在 $a_{1} ， a_{i + 1} ， a_{i + 2} ， \dots ， a_{i + j} (j ⩾ 0)$ ，使得 $a_{i} + a_{i + 1} + a_{i + 2} + \dots + a_{i + j} = n$ ，则称 $Q$ 为 $m -$ 连续可表数列．
（Ⅰ）判断 $Q ： 2 ， 1 ， 4$ 是否为5-连续可表数列？是否为 $6 -$ 连续可表数列？说明理由；

（Ⅱ）若 $Q ： a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{k}$ 为 $8 -$ 连续可表数列，求证： $k$ 的最小值为4；

（Ⅲ）若 $Q ： a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{k}$ 为 $20 -$ 连续可表数列， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} < 20$ ，求证： $k \geq 7$ ．

查看试题解析