江西省抚州市南城县2022年九年级中考模拟数学试题

试卷更新日期：2022-06-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{5}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、﹣5 C、5 D、 $\frac{1}{25}$

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2. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图所示的几何体，其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4.
如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）

A、7.5 B、8 C、15 D、无法确定

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5. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（）

A、9.6 B、4 $\sqrt{5}$ C、5 $\sqrt{3}$ D、10

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6. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 $y = 2$ ，与二次函数 $y = x^{2}$ ， $y = a x^{2}$ 分别交于A、B和C、D，若 $C D = 2 A B$ ，则a为（）

A、4 B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

7. 因式分解： $a^{3} - 4 a =$ ．

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8. 第七次全国人口普查数据显示，江西省常住人口约为4518.86万人，将4518.86万用科学记数法表示．

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9. 开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：

体温（ $℃$ ）

36.3

36.4

36.5

36.6

36.7

36.8

天数（天）

2

3

3

4

1

1

这14天中，小芸体温的众数是 $℃$ .

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10. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 ＞ 1 \\ 1 - 3 x ＞ - 2 \end{array}$ 的解集是．

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11. 设 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个根，且 $x_{1} = 2 x_{2}$ ，则 $k =$ .

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12. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，点 $P$ 在 $⊙ O$ 上， $A B = 2 \sqrt{3}$ ．若点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为 $1$ ，则 $∠ P A B$ 的度数为．

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三、解答题

13.

(1)、计算： $\sqrt{9} + {(4 - π)}^{0} + {(- 1)}^{2022} - 8 s i n 30 °$

(2)、如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．

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14. 先化简，再求值： $(2 - \frac{2 x}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，然后选一个你喜欢的x值代入求值．

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15. “菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？

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16. 已知 $△ A B C$ 和 $△ F D E$ 都是等边三角形，点B，C，E，F在同一直线上，请仅用无刻度直尺画图：

(1)、在图1中，点C与点E重合，画出线段 $A D$ 的中点P；

(2)、在图2中，点E是线段 $B F$ 的中点，画一条与 $A D$ 相等的线段．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{4}{3} x - 2$ 的图象与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象相交于点 $B (m ， 2)$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 体育组为了了解九年级675名学生一分钟跳绳的情况，随机抽查了九年级部分学生进行跳绳测试（单位：个），根据测试结果
组别
个数段
频数
频率
1
0≤x＜80
5
0.1
2
80≤x＜140
21
0.42
3
140≤x＜170
a
4
170≤x＜200
b

(1)、表中的数a＝， b＝；

(2)、估算该九年级一分钟跳绳测试结果不小于140的人数；

(3)、一分钟跳绳测试结果小于80的为不达标，若九年某班不达标的3人中有2个男生，1个女生、现从这3人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率

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19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．

(1)、求证：∠ADE＝∠DFC；

(2)、求证：CD＝BF．

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20. 如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA=BD=40cm，OD=120cm， $∠ A B C = 75 °$ ．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73， $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

(1)、求支架顶点A到地面BC的距离；

(2)、如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．

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21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且 $∠ B C D = ∠ A$ ．

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为 $\sqrt{5}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{5}$ ，求CD的长．

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22. 定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．

(1)、【定义感知】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 40 °$ ， $∠ B A C = 110 ° ，$ AB=BD．求证：AD是 $△ A B C$ 的“华丽分割线”．

(2)、【问题解决】
①如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 46 °$ ， AD是 $△ A B C$ 的“华丽分割线”，且 $△ A B C$ 是等腰三角形，则 $∠ C$ 的度数是 ▲ ；
②如图3，在 $△ A B C$ 中，AB=2，AC= $\sqrt{3}$ ， AD是 $△ A B C$ 的“华丽分割线”，且 $△ A B D$ 是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC， $O A = 1$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ，点D为此抛物线的顶点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求 $△ B C E$ 面积的最大值；

(3)、点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标.

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体温（ $℃$ ）	36.3	36.4	36.5	36.6	36.7	36.8
天数（天）	2	3	3	4	1	1

组别	个数段	频数	频率
1	0≤x＜80	5	0.1
2	80≤x＜140	21	0.42
3	140≤x＜170	a
4	170≤x＜200		b