广东省广州市番禺区2021-2022学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-06-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x (x - 3) < 0} ， B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B$ =（）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. $\frac{1 - 3 i}{3 - i} =$ （）

A、1 B、i C、 $1 + i$ D、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = 16$ ，则该数列的公比为（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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4. 若tanα＝﹣2，则 $\frac{c o s α - s i n α}{s i n α + c o s α} =$ （）

A、3 B、﹣3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程 $y = \sqrt{3} x$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6. 如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）

A、24种 B、48种 C、72种 D、96种

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = x^{2} \cdot s i n x$ B、 $f (x) = \frac{s i n x}{2^{x}}$ C、 $f (x) = l n x + c o s x$ D、 $f (x) = e^{x} - c o s x$

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8. 设 $a = \frac{1}{101} ， b = l n 1.01 ， c =$ $e^{0.01}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 已知随机变量X的分布列如下表：若 $P (X \leq 0) = \frac{3}{4}$ ，则（）
$X$
-1
0
1
$P$
$\frac{1}{2}$
$a$
$b$

A、 $a = \frac{1}{4}$ B、 $b = \frac{1}{4}$ C、 $E (X) = - \frac{1}{4}$ D、 $D (X) = - \frac{1}{4}$

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10. 下列函数中最小正周期为 $π$ ，且为偶函数的是（）

A、 $y = | c o s x |$ B、 $y = s i n 2 x$ C、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{2})$ D、 $y = c o s \frac{1}{2} x$

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11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）

A、由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： $C_{n + 1}^{r} = C_{n}^{r - 1} + C_{n}^{r}$ B、 $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + ⋯ + C_{12}^{2} = 286$ C、第7行中从左到右第5与第6个数的比为 $5 ： 2$ D、由“第n行所有数之和为2”猜想： $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ⋯ + C_{n}^{n} = 2^{n}$

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12. “阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知 $A B = \sqrt{2}$ ，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）

A、该半正多面体的体积为 $\frac{20}{3}$ B、该半正多面体过 $A ， B ， C$ 三点的截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、该半正多面体外接球的表面积为8π D、该半正多面体的顶点数 $V$ 、面数 $F$ 、棱数 $E$ 满足关系式 $V + F - E = 2$

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三、填空题

13. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项是.（用数字作答）

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14. 已知随机变量Z服从正态分布 $N (0 ， e^{2})$ ，若 $P (Z > 2) = \frac{1}{5}$ ，则 $P (- 2 \leq Z \leq 2) =$ .

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15. 已知函数f（x）的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，且满足关系式 $f (x) = l n x + f^{'} (1) x^{2} + \frac{2}{x}$ ，则f（1）＝．

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16. 将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以 $P_{n}$ 表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
① $P_{3} = \frac{7}{8}$ ；
② $P_{4} = \frac{15}{16}$ ；
③当 $n \geq 2$ 时， $P_{n + 1} < P_{n}$ ；
④ $P_{n} = \frac{1}{2} P_{n - 1} + \frac{1}{4} P_{n - 2} + \frac{1}{8} P_{n - 3} (n \geq 4)$ .
其中，所有正确结论的序号是.

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四、解答题

17. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $a \sin B - \sqrt{3} b \cos A = 0$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{13}$ ， $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
分组区间(单位：克)
$(490 ， 495]$
$(495 ， 500]$
$(500 ， 505]$
$(505 ， 510]$
$(510 ， 515]$
产品件数
3
4
7
5
1
包装质量在 $(495 ， 510]$ 克的产品为一等品，其余为二等品.

(1)、估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；

(2)、从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；

(3)、从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列.

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{2} = 4$ ， $a_{3} + a_{4} = 24$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求证： $\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + \frac{1}{d_{3}} + ⋯ + \frac{1}{d_{n}} < 3$ .

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B // C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $△ P A B$ 是等边三角形， $E$ 是棱 $A B$ 的中点， $A B = P D = 2$ ， $B C = C D = 1$ .

(1)、证明： $P E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其右焦点为 $F (\sqrt{3} ， 0)$ ，点M在圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 上但不在 $y$ 轴上，过点 $M$ 作圆的切线交椭圆于 $P$ ， $Q$ 两点，当点 $M$ 在 $x$ 轴上时， $| P Q | = \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、当点 $M$ 在圆上运动时，试探究 $△ F P Q$ 周长的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n \frac{x}{e}$ ， $g (x) = a l n x - x^{2} + 1$ ， $e$ 是自然对数的底数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $g (x) \leq 0$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的值；

(3)、求证： ${(\frac{2023}{2022})}^{2022} < e < {(\frac{2023}{2022})}^{2023}$ ．

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分组区间(单位：克)	$(490 ， 495]$	$(495 ， 500]$	$(500 ， 505]$	$(505 ， 510]$	$(510 ， 515]$
产品件数	3	4	7	5	1

$X$	-1	0	1
$P$	$\frac{1}{2}$	$a$	$b$