山东省泰安市泰山区2022年中考一模数学试题

试卷更新日期：2022-06-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图所示物体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 中国的陆地面积和领水面积共约9970000km² ， 9970000这个数用科学记数法可表示为（）

A、9.97×10⁵ B、99.7×10⁵ C、9.97×10⁶ D、0.997×10⁷

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $a^{5} \div a^{4} = a$

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4. 图，有一块含有 $30 °$ 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果 $∠ 2 = 42 °$ ，那么 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $18 °$ B、 $17 °$ C、 $16 °$ D、 $15 °$

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5. 如图，点B，C，D在 $⊙ O$ 上，若 $∠ B C D = 125 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数是（）

A、 $75 °$ B、 $95 °$ C、 $100 °$ D、 $110 °$

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6. 抛掷一枚质地均匀的普通骰子2次，朝上一面的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，其中概率最大的是（　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7. 甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
甲班
55
135
149
191
乙班
55
135
151
110
小明同学分析该表后得出如下结论：①甲、乙两班学生的平均成绩相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字的个数 $\geq 150$ 为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大；④甲、乙两班成绩的众数相同．上述结论中，正确的是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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8. 下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，P为 $A B$ 边上一点．若M为 $C P$ 的中点， $∠ P B M = ∠ A C P ， A B = 3 ， A C = 2$ ，则 $B P$ 的长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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10. 如图，在边长为1的正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 的中点为O，分别以点A，C为圆心，以 $A O$ 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为（）

A、 $1 - \frac{π}{4}$ B、 $1 - \frac{π}{2}$ C、 $4 - π$ D、 $2 - \frac{π}{2}$

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11. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $(- 4 ， 0)$ ，其对称轴为直线 $x = - 1$ ，结合图象给出下列结论：① $a b c < 0$ ；② $4 a + 2 b + c > 0$ ；③ $3 b + 2 c > 0$ ；④ $a - b ≥ a m^{2} + b m$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 图，已知 $A B = 18$ ，点C在线段 $A B$ 上，且 $A C = 6$ ，以 $A C$ 为一边向上作等边 $△ A C D$ ，再以 $C D$ 为直角边向右作 $R t △ D C E$ ，使 $∠ D C E = 90 °$ ， F为斜边 $D E$ 的中点，连接 $B F$ ，随着 $C E$ 边长的变化， $B F$ 长也在改变，则 $B F$ 长的最小值为（）

A、10 B、9 C、8 D、6

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二、填空题

13. 已知等腰三角形的一个外角为 $130^{\circ}$ ，则它的顶角的度数为．

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14. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则正确的方程组是

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15. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是．

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16. 如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为4，则勒洛三角形的周长为：．

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17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = 2 x$ 和 $y = - x$ 的图象分别为直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，过点 $(1 ， 0)$ 作x轴的垂线交 $l_{1}$ 于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作y轴的垂线交 $l_{2}$ 于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作x轴的垂线交 $l_{1}$ 于点 $A_{3}$ ，过点 $A_{3}$ 作y轴的垂线交 $l_{2}$ 于点 $A_{4}$ ， …，依次进行下去，则点 $A_{2022}$ 的坐标为．

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三、解答题

19. 解答：

(1)、先化简，再求值： $\frac{2 m - 6}{m - 2} \div (m + 2 - \frac{5}{m - 2})$ ，其中 $m = \sqrt{5} - 3$ ．

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} x - 5 \leq 3 x - 1 ① \\ \frac{x + 3}{2} - 2 < 1 - \frac{2 x - 1}{3} ② \end{array}$

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20. 如图，一幢楼房 $A B$ 后有一假山，其坡度为 $i = 1 ： \sqrt{3}$ ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离 $B C = 30$ 米，与亭子距离 $C E = 24$ 米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为 $45 °$ ，求楼房 $A B$ 的高．

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21. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， P为 $△ A B C$ 内部一点，且 $∠ A P B = ∠ B P C = 135 °$ ．
求证：

(1)、 $△ P A B ∽ △ P B C$ ；

(2)、 $P C = \frac{1}{2} P A$ ．

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22. 图，点 $A (\frac{3}{2} ， 4)$ ， $B (3 ， m)$ 是直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{n}{x} (x > 0)$ 图象的两个交点， $A C ⊥ x$ 轴，垂足为点C，已知 $D (0 ， 1)$ ，连接 $A D$ ， $B D$ ， $B C$ ．

(1)、求反比例函数和直线 $A B$ 的表达式；

(2)、 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} + S_{2}$ ．

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23. 随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车商行经营的A型自行车去年销售总额为10万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低180元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：

(1)、A型自行车去年每辆售价多少元？

(2)、该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2300元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

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24. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $O A = 1$ ， $O C = 4$ ，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

(1)、求顶点D的坐标；

(2)、点E是 $R t △ A B C$ 斜边 $A B$ 上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段 $E F$ 的长度最大时，求点E、F的坐标；

(3)、在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使 $△ E F P$ 是以 $E F$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

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25. 解答：

(1)、如图1，菱形 $A E G H$ 的顶点E、H在菱形 $A B C D$ 的边上，且 $∠ B A D = 60 °$ ，请直接写出 $H D ： G C ： E B$ 的结果（不必写计算过程）；

(2)、将图1中的菱形 $A E G H$ 绕点A旋转一定角度，如图2，求 $H D ： G C ： E B$ ；

(3)、把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且 $A D ： A B = A H ： A E = 1 ： 3$ ，此时 $H D ： G C ： E B$ 的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，求出变化后的结果；若无变化，请说明理由．

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班级	参赛人数	平均数	中位数	方差
甲班	55	135	149	191
乙班	55	135	151	110