山东省泰安市高新区2022年中考数学一模试题

试卷更新日期：2022-06-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个数：3，-0.5， $\frac{3}{2}$ ， $- \sqrt{6}$ 中，绝对值最小的数是（）

A、3 B、 $- 0.5$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \sqrt{6}$

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2. 下列运算结果正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ C、 $- 3 a^{2} b - 2 a^{2} b = - a^{2} b$ D、 $- a^{2} b \div a^{2} = - b$

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3. 甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（）

A、甲和乙左视图相同，主视图相同 B、甲和乙左视图不相同，主视图不相同 C、甲和乙左视图相同，主视图不相同 D、甲和乙左视图不相同，主视图相同

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4. 如图，直线 $M N / / P Q$ ，点 $A$ 是 $M N$ 上一点， $∠ M A C$ 的角平分线交 $P Q$ 于点 $B$ ，若 $∠ 1 = 20 °$ ， $∠ 2 = 116 °$ ，则 $∠ 3$ 的大小为（）

A、136° B、148° C、146° D、138°

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5. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（）

读书时间	6 小时及以下	7 小时	8 小时	9 小时	10 小时及以上
学生人数	6	11	8	8	7

A、8，7 B、8，8 C、8.5，8 D、8.5，7

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6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）

A、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x + 3} \times 2$ B、 $\frac{900}{x + 1} \times 2 = \frac{900}{x + 3}$ C、 $\frac{900}{x + 1} \times 2 = \frac{900}{x - 3}$ D、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x - 3} \times 2$

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7. 函数y=x²−6x+9向左平移m个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m的值为（）

A、2 B、1 C、3 D、1或3

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8. 量角器圆心为 $O$ ，直径 $A B = 12$ ，一把宽为3的直尺的一边过 $O$ 点且与量角器交于 $C$ 、 $D$ 两点，如图所示，则弧 $C D$ 的长为（）

A、 $2 π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $\frac{1}{2} π$ D、 $π$

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，过点C作 $C G ⊥ B E$ ，垂足为G，若 $B C = 9$ ， $D E = 3$ ， $E F = 2$ ，则线段CG的长为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $\frac{9}{2} \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{10}$ D、 $\sqrt{35}$

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10. 如图，BE是 $⊙ O$ 的直径，点A和点D是 $⊙ O$ 上的两点，过点A作 $⊙ O$ 的切线交BE延长线于点C．若 $∠ A D E = 36 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、28° B、26° C、25° D、18°

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11. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = B D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的点（不与端点重合），且 $A E = D F$ ，连接 $B F$ ， $D E$ 相交于点 $G$ ，连接 $C G$ 与 $B D$ 相交于点 $H$ ．下列结论：① $D E = B F$ ；② $∠ B G E = 60 °$ ；③ $C G ⊥ B D$ ；④若 $A F = 2 D F$ ，则 $B G = 6 G F$ ．其中正确结论的序号是（）

A、①② B、①②④ C、②③④ D、①③④

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12. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ ， O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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二、填空题

13. 已知关于x的一元二次方程（1−a）x²+2x−2=0有两个不相等的实数根．则a的取值范围是．

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14. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是海里.（结果保留根号）

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15. 如图，△ABC中，AC= $\sqrt{6}$ ，点O是AB边上的一点，⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，点F为⊙O上一点，连AF，若四边形ACEF是菱形，则图中阴影部分面积是．

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16. 如图，正方形ABCD中，E为AB上一点， $A F ⊥ D E$ 于点F，已知 $D F = 4 E F = 4$ ，过C、D、F的 $⊙ O$ 与边AD交于点G，则 $D G =$ ．

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17. 如图．二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，结合图象给出下列结论：① $a + b + c = 0$ ；② $a - 2 b + c < 0$ ；③若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 5 (a \neq 0)$ 的一根是3，则另一根是 $- 5$ ；④若点 $(- 4 ， y_{1})$ ， $(- 2 ， y_{2})$ ， $(3 ， y_{3})$ 均在二次函数图象上，则 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ．其中正确的结论的序号为．

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18. 如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O₁ ，半圆O₂ ， …，半圆On与直线l相切．设半圆O₁ ，半圆O₂ ， …，半圆On的半径分别是r₁ ， r₂ ， …，rn，则当直线l与x轴所成锐角为α，tanα= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且r₁=1时，r₂₀₂₂的值是．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、先化简再求值： $(1 - \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}) \div (\frac{x^{2} - 2}{x - 1} - 2)$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

(2)、解不等式： $\frac{x + 4}{0.2} - \frac{x - 3}{0.5} \leq 2$ ．

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20. 疫情期间，为了增强学生的自我保护意识，某校组织了一次全校2000名学生都参加的“新冠疫情知多少”的考试，并随机抽查了部分参赛学生的成绩，根据成绩分成如下四个组：A：60≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100，制作出如下的扇形统计图和条形统计图，请根据图表提供的信息解答下列问题：

(1)、本次抽查的学生有人，扇形统计图中的m＝；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、估计全校学生中得分80分及以上的同学有多少？

(4)、九（1）班在此次考试中得100分的有1位女生和3位男生，现要从九（1）班得100分的4人中选取两人代表本班去参加学校的防疫宣讲活动，请你用列表或画树状图的方法，求选出的两人恰好是一男一女的概率．

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21. 如图，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 的图象交x、y轴于A、B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角 $△ A B C$ ， $∠ B C A = 90 °$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点C，连接OC交AB于点D．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

(2)、求 $∠ A D C$ 的正切值；

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在 $△ A B C$ 内， $B D = B C$ ， $∠ D B C = 60 °$ ，点E在 $△ A B C$ 外， $∠ C B E = 150 °$ ， $∠ A C E = 60 °$ ．

(1)、判断 $△ A C E$ 的形状并加以证明．

(2)、连接DE，若 $D E ⊥ C D$ ， $A D = 3$ ，求DE的长．

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23. 疫情期间，蔬菜成为人们抢购的生活物资．某蔬菜超市第一次用1200元购进某种蔬菜若干千克，以每千克8元价格很快被抢购一空．该超市第二次购买时，受疫情影响，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次购进的数量多20千克．第二次购进的该种蔬菜以每千克9元售出100千克后，因政府调控，蔬菜供应充足，为防滞销，该超市便降价50%售完剩余的蔬菜．该蔬菜超市在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？

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24. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于点E，作点E关于AD的对称点F，连接AF，FD，延长FD交BC的延长线于点N，交AC的延长线于点M．

(1)、判断AF与BD的位置关系并证明；

(2)、求证： $B C \cdot C N = D E \cdot D N$ ；

(3)、若 $\frac{D F}{D N} = \frac{3}{4}$ ，求 $\frac{C M}{M D}$ 的值．

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25. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (4 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点B，P为抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若P为第一象限抛物线上的动点，设 $△ A P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} - S_{2} = 5$ 时，求点P的坐标；

(3)、是否存在点P，使 $∠ P A B + ∠ C B O = 45 °$ ，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，说明理由．

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