2022年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）

试卷更新日期：2022-06-08 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合 $M = {x ∣ \sqrt{x} < 4} ， N = {x ∣ 3 x ⩾ 1} ，$ 则 $M \cap N$ =（）

A、 ${x ∣ 0 \leq x < 2}$ B、 ${x ∣ \frac{1}{3} \leq x < 2}$ C、 ${x ∣ 3 \leq x < 16}$ D、 ${x ∣ \frac{1}{3} \leq x < 16}$

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2. 若 $i (1 - z) = 1 ，$ 则 $z + \bar{z} =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 在 $A B C$ 中，点D在边AB上， $B D = 2 D A .$ 记 $\vec{C A} = \vec{m} ， \vec{C D} = \vec{n} ，$ 则 $\vec{C B} =$ （）

A、3 $\vec{m}$ -2 $\vec{n}$ B、-2 $\vec{m}$ +3 $\vec{n}$ C、3 $\vec{m}$ +2 $\vec{n}$ D、2 $\vec{m}$ +3 $\vec{n}$

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4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为 $140.0 m^{2} ；$ 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 $180.0 m^{2} .$ 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（） $(\sqrt{7} \approx 2.65)$

A、 $1.0 \times 10^{9} m^{3}$ B、 $1.2 \times 10^{9} m^{3}$ C、 $1.4 \times 10^{9} m^{3}$ D、 $1.6 \times 10^{9} m^{3}$

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5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 记函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{4}) + b (ω > 0)$ 的最小正周期为T，若 $\frac{2 π}{3} < T < π ，$ 则 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 2)$ 中心对称，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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7. 设 $a = 0.1 e^{0.1} ， b = \frac{1}{9} ， c = - ln 0.9 ，$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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8. 已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 $π$ ，且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3} ，$ 则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A、 $[18 ， \frac{81}{4}]$ B、 $[\frac{27}{4} ， \frac{81}{4}]$ C、 $[\frac{27}{4} ， \frac{64}{3}]$ D、[18，27]

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ，$ 则（）

A、直线 $B C_{1}$ 与 $D A_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ B、直线 $B C_{1}$ 与 $C A_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ C、直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ D、直线 $B C_{1}$ 与平面ABCD所成的角为 $45^{\circ}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1 ，$ 则（）

A、f(x)有两个极值点 B、f(x)有三个零点 C、点(0，1)是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、直线 $y = 2 x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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11. 已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p 0)$ 上，过点 $B (0 ， - 1)$ 的直线交C于P，Q两点，则（）

A、C的准线为 $y = - 1$ B、直线AB与C相切 C、 $| O P | \cdot | O Q ∣ > ∣ O A ∣^{2}$ D、 $∣ B P ∣ \cdot ∣ B Q ∣ > ∣ B A ∣^{2}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，记 $g (x) = f^{'} (x) .$ 若 $f (\frac{3}{2} - 2 x) ，$ $g (2 + x)$ 均为偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (- \frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (- 1) = f (4)$ D、 $g (- 1) = g (2)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. $(1 - \frac{y}{x}) {(x + y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{6}$ 的系数为 (用数字作答).

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14. 写出与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 都相切的一条直线的方程．

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15. 若曲线 $y = (x + a) e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a b > 0) ，$ C的上顶点为A，两个焦点为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与C交于D，E两点， $| D E ∣ = 6 ，$ 则△ADE的周长是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1 ， {\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ ，的等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 2$

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18. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为4， $△ A_{1} B C$ '的面积为 $2 \sqrt{2} .$

(1)、求A到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、设D为 $A_{1} C$ 的中点， $A A_{1} = A B ，$ 平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1} ，$ 求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值.

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20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组 40 60

对照组 10 90

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P(K² ≥ k)

0.050

0.010

0.001

K

3.841

6.635

10.828

(1)、能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

(2)、从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”， $\frac{P (B ∣ A)}{P (\bar{B} ∣ A)}$ 与 $\frac{P (B ∣ \bar{A})}{P (\bar{B} ∣ \bar{A})}$ 的比值是卫生习惯不够良好对患该
疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

(i)证明： $R = \frac{P (A ∣ B)}{P (\bar{A} ∣ B)} \cdot \frac{P (\bar{A} ∣ \bar{B})}{P (A ∣ \bar{B})} ；$

(ii)利用该调查数据，给出 $P (A | B) ， P (A ∣ \bar{B})$ 的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.

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21. 已知点A(2，1)在双曲线 C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2} - 1} = 1 (a > 1)$ 上，直线 $l$ 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.

(1)、求 $l$ 的斜率；

(2)、若 $tan ∠ P A Q = 2 \sqrt{2} ，$ 求 $P A Q$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 和 $g (x) = a x - ln x$ 有相同的最小值.

(1)、求a；

(2)、证明：存在直线 $y = b ，$ ，其与两条曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

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	不够良好	良好
病例组	40	60
对照组	10	90

P(K² ≥ k)	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828