浙江省2022年普通高中数学1月学业水平考试试卷

试卷更新日期：2022-06-07 类型：高考真卷

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一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)

1. 已知集合P={0，1，2}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（）

A、{0} B、{0，3} C、{1，2} D、{0，1，2，3}

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ 的定义域是（）

A、 ${x | x < 2}$ B、 ${x | x > 2}$ C、R D、 ${x | x \neq 2}$

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3. 函数 $y = 2^{- x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知α∈R，则cos（π-α）=（）

A、sinα B、-sinα C、cosα D、-cosα

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5. 已知圆M的方程为 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，则圆心M的坐标是（）

A、（ $- 1$ ，2） B、（1，2） C、（1， $- 2$ ） D、（ $- 1$ ， $- 2$ ）

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6. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）

A、棱柱 B、圆柱 C、圆台 D、球

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7. 已知函数 $y = 2 a x^{3}$ （ $a > 0$ ），则此函数是（）

A、偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减 B、偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增 C、奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减 D、奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增

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8. 不等式 $x^{2} - 4 x < 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- 4 ， 0)$ C、 $(- \infty ， 4)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (4 ， + \infty)$

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9. 设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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10. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 5 \geq 0 \\ x + y + 2 < 0 \end{array}$ 表示的平面区域是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知空间中两条不重合的直线 $a ， b$ ，则“ $a$ 与 $b$ 没有公共点”是“ $a / / b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 为了得到函数 $y = \cos (x - \frac{1}{3})$ 的图象，可以将函数 $y = \cos x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度

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13. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + b$ 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）

A、[1，+∞） B、（-∞，1] C、[-1，+∞） D、（-∞，-1]

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 6 ， | \vec{a} + \vec{b} | = 8$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{10}$ C、8 D、 $4 \sqrt{10}$

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15. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，N是棱 $D D_{1}$ 的中点，则直线CN与平面 $D B B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

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16. 若 $\log_{2} (2^{x} - 1) - x < \log_{2} (λ \cdot 2^{x} + 3 λ)$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{9} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{9})$ C、 $(\frac{1}{5} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{5})$

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17. 已知单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 不共线，且向量 $\vec{a}$ 满足 $| \vec{a} | = \frac{1}{4} .$ 若 $| \vec{a} - λ \vec{e_{1}} + (λ - 1) \vec{e_{2}} | \geq \frac{1}{4}$ 对任意实数λ都成立，则向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 夹角的最大值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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18. 通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为 ${a_{n}}$ ，则 $a_{1025}$ 的值是（）

A、6 B、12 C、18 D、108

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二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)

19. 若数列 ${a_{n}}$ 通项公式为 $a_{n} = 2 n$ ，记前n项和为 $S_{n}$ ，则 $a_{2} =$ ； $S_{4} =$ .

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20. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b=.

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21. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ .已知点 $M (0 ， \frac{\sqrt{15}}{2} b)$ ，线段 $M F_{2}$ 交椭圆于点P，O为坐标原点.若 $| P O | + | P F_{1} | = 2 a$ ，则该椭圆的离心率为.

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22. 如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 $\overset{⇀}{E F} = 2 x \overset{⇀}{A V} + y \overset{⇀}{B C} (x > 0 ， y > 0)$ 则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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三、解答题(本大题共3小题，共31分)

23. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{6}) ， x \in R$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期.

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24. 如图，已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到其准线的距离为2.

(1)、求p的值；

(2)、设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，记△AOB的面积为S，当 $| F A | | F B | = 6 S$ 时，求直线l的方程.

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25. 已知函数 $f (x) = | x - a | - \frac{1}{x} + a ， a \in R$ .

(1)、若f（1）=2，求a的值；

(2)、若存在两个不相等的正实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明：
① $2 < x_{1} + x_{2} < 2 a$ ；

② $\frac{x_{2}}{x_{1}} < a^{2} + 1$ .

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