云南省昆明市2022届高三理数“三诊一模“高考模拟试卷

试卷更新日期：2022-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = l n (x - 1)}$ ，集合 $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 已知复数z满足 $z + \bar{z} = 2$ ，且 $(z - \bar{z}) \cdot i = 4$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 为了鼓励学生锻炼身体，强健体魄，增强抵抗病毒能力，某校决定加强体育活动并对体育成绩进行定期统计，下表是该校高三年级某次体育测试成绩的样本频率分布表：
500名高三学生体育成绩的频率分布表
分组
$[70 ， 75)$
$[75 ， 80)$
$[80 ， 85)$
$[85 ， 90)$
$[90 ， 95]$
频率
0.1
0.15
0.4
0.25
0.1
该次高三年级体育测试成绩中位数的估计值位于区间（）

A、 $[75 ， 80)$ B、 $[80 ， 82.5)$ C、 $[82.5 ， 85)$ D、 $[85 ， 90)$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为1的等比数列，且 $a_{1}$ ， $2 a_{2}$ ， $4 a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{32}$

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5. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $S = 0$ ， $k = 1$ ，则输出的 $k =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 函数 $y = \frac{1}{x^{4} - 1}$ 部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = 3$ ， $D C = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，则 $(\vec{A C} + \vec{B D}) \cdot \vec{A B} =$ （）

A、2 B、1 C、4 D、3

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8. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A是C上一点，满足 $| A F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且 $c o s ∠ A F_{1} F_{2} = \frac{7}{8}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x^{2} ， x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a e^{x}$ 有两个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{e})$ D、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$

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10. 一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高．如图1，西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2，已知杯底的直径为 $2 \sqrt{5}$ cm，杯口直径为 $4 \sqrt{5}$ cm，杯的深度为 $\sqrt{5}$ cm，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（）

A、5cm B、 $2 \sqrt{6}$ cm C、 $\frac{25}{4}$ cm D、 $\frac{13}{2}$ cm

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于A， $B$ 两点，且 $| A B | = \frac{25}{4}$ ，设直线 $P A$ 的斜率为 $k$ ，则 $| k | =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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12. 对于函数 $f (x) = e^{x} + a l n x (a \in R)$ ，有下列四个论断：
① $f (x)$ 是增函数② $f (x)$ 是奇函数③ $f (x)$ 有且仅有一个极值点④ $f (x)$ 的最小值为 $e$

若其中恰有两个论断正确，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、 $- e$ D、 $e$

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二、填空题

13. 已知x，y满足 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = x - y$ 的最小值为．

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14. 若 ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中存在 $x^{2}$ 项，且 $x^{2}$ 项的系数不为0，则 $n$ 的值可以是．（写出满足条件的一个 $n$ 的值即可）

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15. 某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时 $X_{1}$ （单位： $m i n$ ）服从正态分布 $N (5 ， 1)$ ；第二条路线较长但不拥挤，路途用时 $X_{2}$ （单位： $m i n$ ）服从正态分布 $N (6 ， 0.16)$ ．若有一天他出发时离上班时间还有 $7 m i n$ ，则 $P (X_{2} \leq 7) - P (X_{1} \leq 7) =$ ．（精确到 $0.0001$ ）（参考数据： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 1.5 σ < X \leq μ + 1.5 σ) = 0.8664$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 2.5 σ < X \leq μ + 2.5 σ) = 0.9876$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ ）

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16. 记数列 ${(2 n - 1) \cdot s i n \frac{n π}{4}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{23} =$ ．

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三、解答题

17. 从① $b^{2} + c^{2} + b c = a^{2}$ ， ② $b c o s C + c c o s B = 2 \sqrt{7}$ 两个条件中选择一个补充到题目中，完成下列问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 2$ ， $c = 4$ ，且____．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $D$ 是线段 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的长．

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A B$ ， $A P$ ， $P D$ 的中点．

(1)、证明： $P C ∥$ 平面 $E F G$ ；

(2)、若 $P C = P D = C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = A D = A P = 2$ ，求 $P D$ 与平面 $E F G$ 所成角的大小．

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19. 《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化．某科技公司开发出一款生态环保产品．已知该环保产品每售出 $1$ 件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每 $1$ 件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在 $[155 ， 205]$ （单位：件）内取值，将月需求量区间平均分成5组，以各组区间的中点值代表该组的月需求量，得到频率分布折线图如下：
（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} p_{i} = 32850$ ， $x_{i}$ 是各组区间中点值， $p_{i}$ 是各组月需求量对应的频率， $i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ ）

(1)、请根据频率分布折线图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值及方差；

(2)、以频率分布折线图的频率估计概率，若该公司计划环保产品的月产量 $n \in [180 ， 190]$ ， $n \in N^{*}$ （单位：件），求月利润 $Y$ （单位：万元）的数学期望的最大值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，左顶点为 $A (- 2 ， 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、若直线l： $y = k (x + 1) (k \neq 0)$ 与C交于点D，E，线段AD，AE的中点分别为P，Q．设过点 $F_{1}$ 且垂直于x轴的直线为 $l'$ ，若直线OP与直线 $l'$ 交于点S，直线OQ与直线 $l'$ 交于点T，求 $\vec{F_{2} S} \cdot \vec{F_{2} T}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x}}$ ．

(1)、不等式 $f (x) \leq a$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上恒成立，求实数 $a$ 的最小值；

(2)、函数 $g (x) = \frac{1}{2} x - e^{x} \cdot f (x) + e^{- x}$ ，记 $g (x)$ 在 $x \in (π ， 2 π)$ 上的最大值为 $M$ ，证明： $M > \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s φ \\ y = s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），直线的 $C_{2}$ 普通方程为 $x + y = 3$ ，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、在极坐标系中，射线 $θ = α (0 < α < \frac{π}{2})$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别交于点A，B（异于极点），若 $| O A | \cdot | O B | = 3$ ，求 $α$ 的值．

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23. 设a，b，c均为正数，且 $a + b + c = 1$ ．

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b + c}$ 的最小值；

(2)、证明： $\sqrt{1 - a} + \sqrt{1 - b} + \sqrt{1 - c} ≤ \sqrt{6}$ ．

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分组	$[70 ， 75)$	$[75 ， 80)$	$[80 ， 85)$	$[85 ， 90)$	$[90 ， 95]$
频率	0.1	0.15	0.4	0.25	0.1