四川省雅安市2022届高三理数第三次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2022-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 复数 $\frac{5 - 5 i}{1 - 2 i}$ 在复平面内对应的点的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(3 ， 1)$ C、 $(3 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 3)$

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3. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的 $2 \times 2$ 列联表中，由列联表中的数据计算得 $K^{2} \approx 9.616$ .参照附表，下列结论正确的是（）
附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
3.841
5.02
6.635
7.879
10.828

A、在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物有效” B、在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物无效” C、有99％以上的把握认为“药物有效” D、有99％以上的把握认为“药物无效”

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4. 当强度为 $x$ 的声音对应的等级为 $f (x)$ 分贝时，有 $f (x) = 10 l g \frac{x}{A_{0}}$ (其中 $A_{0}$ 为常数)．装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $1 0^{- 4}$ D、 $1 0^{4}$

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5. 如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A、60 B、54 C、48 D、24

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 $60 °$ 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(1 ， \sqrt{3}]$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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7. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项积，若 $\frac{S_{7}}{S_{2}} = 32$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、1024 B、512 C、256 D、128

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8. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $s i n A ： s i n B ： s i n C = 2 ： 4 ： 5$ ，则 $c o s B =$ （）

A、 $\frac{13}{20}$ B、 $\frac{37}{40}$ C、 $- \frac{5}{16}$ D、 $\frac{1}{8}$

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9. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ ，若将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = s i n (4 x - \frac{π}{6})$ B、 $g (x) = s i n 4 x$ C、 $g (x) = s i n x$ D、 $g (x) = s i n (x - \frac{π}{6})$

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10. 某高校计划派出甲、乙、丙3名男生和A，B，C，3名女性共6名志愿者参与北京冬奥会志愿者工作，现将他们分配到北京、延庆2个赛区进行培训，其中1名男性志愿者和1名女性志愿者去北京赛区，其他都去延庆赛区，则甲和A被选去北京赛区培训的概率为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{8}$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点O为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，若以O为球心， $\sqrt{6}$ 为半径的球面与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论错误的是（）

A、 $A_{1} D_{1} / /$ 平面 $E F G H$ B、 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $E F G H$ 所成的角的大小为 $45 °$ C、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F G H$ D、平面 $E F G H$ 将正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 分成两部分的体积的比为1∶7

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12. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，且当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) + 2 f (x) < 0$ ．则（）

A、 $\frac{f (e)}{4} > \frac{f (2)}{e^{2}}$ B、 $9 f (3) > f (1)$ C、 $4 f (- 2) < 9 f (- 3)$ D、 $\frac{f (e)}{9} > \frac{f (- 3)}{e^{2}}$

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二、填空题

13. ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中，x的系数为

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14. 已知向量 $\vec{a} = (t ， 2)$ ， $\vec{b} = (- t ， 1)$ ，满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则t＝．

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15. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义域为R的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} (\frac{1}{2})^{x} ， \\ l o g_{16} x ， \end{array}$ $\begin{array}{l} 0 \leq x < 2 \\ x \geq 2 \end{array}$ ，若关于x的方程 $[f (x)]^{2} + a f (x) + b = 0 (a ， b \in R)$ 有且仅有7个不同实数根，则 $a + b =$

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， P为C上异于左右顶点的一点，M为 $△ P F_{1} F_{2}$ 内心，若 $5 \vec{M F_{1}} + 3 \vec{M F_{2}} + 3 \vec{M P} = \vec{0}$ ，则该椭圆的离心率是．

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三、解答题

17. 如今快寄成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家快寄企业（以下简称快寄甲、快寄乙）的经营情况进行了调查，调查结果如下表：
日期
1
2
3
4
5
快寄甲日接单量x/百单
5
2
9
8
11
快寄乙日接单量y/百单
2.2
2.3
10
5
15
据统计表明y与x之间具有线性相关关系，并经计算求得y与x之间的回归方程为 $\hat{y} = 1.382 x + \hat{a}$ ．

(1)、求 $\hat{a}$ ；

(2)、假定快寄企业平均每单能获纯利润3元，试预测当快寄乙日接单量不低于2500单时，快寄甲日接单量的最小值（结果精确到单）及所获取的日纯利润的最小值；

(3)、以样本中5天的频率作为概率，记快寄乙在未来3天中日接单量不低于10百单的天数为X，求X的分布列和期望（概率用分数表示）．

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18. 在① $3 S_{n + 1} = S_{n} + 1$ ， ② $2 S_{n} = 1 - 3 a_{n + 1}$ 这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{2} = \frac{1}{9}$ ， ____；又知正项等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ，且 $b_{1} ， b_{2} - 1 ， b_{3}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + \dots + a_{b_{n}} < \frac{3}{26}$ ．

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = 2$ ， $A B = C C_{1} = 4$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ ， $M$ 、 $N$ 分别是 $A_{1} B$ 、 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B - M N - C$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，长轴长为4，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．过点 $Q (4 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆C交于A，B两点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线 $A F ， B F$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} (k_{2} \neq 0)$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值．

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21. 已知 $f (x) = a x l n x + (1 - a) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(2 ， f (2))$ 处的切线的斜率为 $1 + l n 2$ ，求出 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $a = 1$ ， $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2}$ ，求证：当 $x > 1$ 时， $[g^{'} (x) + x - 1] (e^{x - 1} - 1) > {(x - 1)}^{2}$ ．

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22. 数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线 $C ： ρ = s i n 3 θ (ρ \in R)$ 被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．

(1)、当 $θ \in [0 ， π)$ ，求以极点为圆心， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；

(2)、设点P是由（1）中的交点所确定的圆M上的动点，直线 $l ： ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，求点P到直线l的距离的最大值．

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23. 已知 $f (x) = | x - 2 | - | a x + 2 |$ .
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 1$ 的解集；
（Ⅱ）若 $x \in (0 ， 2)$ 时，不等式 $f (x) + x > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	3.841	5.02	6.635	7.879	10.828

日期	1	2	3	4	5
快寄甲日接单量x/百单	5	2	9	8	11
快寄乙日接单量y/百单	2.2	2.3	10	5	15