四川省射洪市2022届高三下学期理数高考模拟测试试卷

试卷更新日期：2022-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x \geq 2}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、{2} D、 ${x | x < 2}$

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2. 已知复数z满足 $(2 + i) z = 3 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 某高校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 $[17.5 ， 30]$ ，样本数据分组为 $[17.5 ， 20)$ ， $[20 ， 22.5)$ ， $[22.5 ， 25)$ ， $[25 ， 27.5)$ ， $[27.5 ， 30]$ .则根据直方图这400名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）

A、60 B、90 C、130 D、150

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4. 函数f(x)=xcosx- $\frac{1}{x}$ 在(－π，π)上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数 $I_{C R F}$ 对计算度电成本具有重要影响．等年值系数 $I_{C R F}$ 和设备寿命周期 $N$ 具有如下函数关系 $I_{C R F} = \frac{0.05 {(1 + r)}^{N}}{{(1 + r)}^{N} - 1}$ ， $r$ 为折现率，寿命周期为 $10$ 年的设备的等年值系数约为 $0.13$ ，则对于寿命周期约为 $20$ 年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（）

A、0.03 B、0.05 C、0.07 D、0.08

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{2}{1 + a_{n}} (n \in N_{+})$ ，则 $a_{2022} =$ （）

A、2 B、-3 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 在△ABC中，“ $s i n^{2} A + s i n^{2} B > s i n^{2} C$ ”是“△ABC是锐角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、3 D、8

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9. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点是F，左、右顶点分别是 $A_{1}, A_{2}$ ,过F做 $A_{1} A_{2}$ 的垂线与双曲线交于B，C两点，若 $A_{1} B ⊥ A_{2} C$ ,则双曲线的渐近线的斜率为（）

A、 $\pm \frac{1}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\pm 1$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{2}{3}$ ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列关于函数 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{3}$ B、 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{9} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $g (x)$ 的图象关于直线x＝ $\frac{4 π}{9}$ 对称 D、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{9} ， 0)$ 中心对称

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 3 ， 2 \sqrt{S_{n}} = \sqrt{S_{n + 1}} + \sqrt{S_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则 $a_{2022} =$ （）

A、4043 B、4042 C、4041 D、4040

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12. 下列四个命题：① $l n 5 < \sqrt{5} l n 2$ ；② $2^{\sqrt{11}} < 11$ ；③ $3 e l n 2 < 4 \sqrt{2}$ ，（ $e$ 为自然对数的底数），其中所有真命题的序号是（）

A、①② B、② C、③ D、②③

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， x)$ ，若 $\vec{b} / / (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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14. 随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外，现有3个完全相同的“雪容融”，甲､乙､丙3位运动员要与这3个“雪容融”站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪容融”相邻的排队方法数为．

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15. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形，面 $P A D ⊥$ 面ABCD， $P A = P D = A D = 3$ ， $A B = 4$ ，则四棱锥ABCD的外接球的表面积为．

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ ，其焦点为点 $F$ ，点 $P$ 是拋物线 $C$ 上的动点，过点 $F$ 作直线 $(m + 1) x + y - 4 m - 6 = 0$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，则 $| P Q | + | P F |$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 在① $\frac{s i n (A + C)}{b} = \frac{c o s A}{\sqrt{3} a}$ ；② $b (2 - \sqrt{3} c o s A) = a s i n B$ ；从①②中选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题．
已知△ABC中的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c．若____．

(1)、求内角A的大小；

(2)、设 $a = 4$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ ，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
3.98
4.56
5.04
5.86
6.36
参考数据： $\bar{y} = 5.16$ ， $\bar{v} = 1.68$ ， $\sum_{i = 1}^{5} v_{i} y_{i} = 45.10$ ，其中 $v_{i} = \sqrt{x_{i}}$ ．
参考公式：对于一组数据 $(v_{1} ， y_{1})$ ， $(v_{2} ， y_{2})$ ， …， $(v_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} v + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} y_{i} - n \bar{v} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{v}$ ．

(1)、由上表数据可知，可用函数模型 $\hat{y} = \hat{b} \sqrt{x} + \hat{a}$ 拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（ $\hat{a}$ ， $\hat{b}$ 的值精确到0.01）；

(2)、已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若 $P (X = 3) = P (X = 4)$ ，求X的分布列与期望．

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19. 如图，平面五边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ B A D = ∠ E = ∠ C D E = 90 °$ ， $C D = D E = E A = \sqrt{2}$ ，将 $Δ A D E$ 沿 $A D$ 折叠，得四棱锥 $P - A B C D$ .

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、若二面角 $P - A D - B$ 的大小是 $120 °$ ，求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆C； $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，以线段 $A_{1} A_{2}$ 为边的一个正三角形与椭圆C的一个公共点为P（ $\frac{6}{5}$ ， $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ ）.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于点M，N，直线 $A_{1}$ M， $A_{2} N$ 交于点D，求证：点D在定直线l上，并求出直线l的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - 2 x (a \in R)$ .

(1)、若a=0，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 1 - s i n x$ 对 $\forall x \in [0 ， + ∞)$ 恒成立，求a的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + t \cos α \\ y = 1 + t \sin a \end{matrix}$ （t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²＝ $\frac{12}{3 + \sin^{2} θ}$ ，直线l与曲线C的交点为A，B．

(1)、求曲线C的直角坐标方程及α＝ $\frac{π}{2}$ 时|AB|的值；

(2)、设点P（﹣1，1），求 $\frac{| | P A | - | P B | |}{| P A | | P B |}$ 的最大值．

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23. 已知x，y为任意实数，有 $a = 2 x + y ， b = 2 x - y ， c = y - 1 .$

(1)、若 $4 x + y = 2 ，$ 求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值；

(2)、求 $| a | ， | b | ， | c |$ 三个数中最大数的最小值．

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年份代码x	1	2	3	4	5
市场规模y	3.98	4.56	5.04	5.86	6.36