四川省大数据精准教学联盟2021-2022学年高三下学期理数第二次统一监测试卷

试卷更新日期：2022-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq \frac{7}{2}}$ ，则 $∁_{R} (A ∩ B) =$ （）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 $(- ∞ ， - 1) ∪ (3 ， + ∞)$ C、 $(- 2 ， \frac{7}{2})$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (\frac{7}{2} ， + \infty)$

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2. 已知 $(1 + i) z = 2 - 3 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{5}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{5}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$

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3. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} \geq 2^{x_{0}}$ ，那么 $¬ p$ 为（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} < 2^{x}$ B、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} < 2^{x_{0}}$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} \geq 2^{x}$ D、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} \leq 2^{x_{0}}$

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4. 已知二项式 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 项的系数为40，则 $a =$ （）

A、2 B、-2 C、2或-2 D、4

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5. 《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部以用数学著作，该书清初传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著．书中卷八有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为总个数，则总个数 $S =$ （）

A、18 B、25 C、33 D、42

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6. 已知 $α ， β$ 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若 $α ⊥ β ， l ⊥ β$ ，则 $l ∥ α$ ；②若 $m ⊥ β ， l ∥ m ， l \subset α$ ，则 $α ⊥ β$ ；③若 $α ∥ β ， m ⊥ α ， l \subset β$ ，则 $l ⊥ m$ ﹔④若 $α ∩ β = m ， l ∥ α$ ，则 $l ∥ m$ ．
其中真命题的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，准线与y轴交于点D，O为坐标原点，P是抛物线上一点，且 $∠ P F O = 60 °$ ，则 $\frac{| P D |}{| D F |} =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 函数 $f (x) = \frac{2 x^{2} s i n x}{e^{x} + e^{- x}}$ 在 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} + a_{3} = 6$ ， $S_{5} = S_{3} + 11$ ，则 $\frac{S_{n} + 8}{a_{n} - 1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{11}{2}$ B、 $\frac{28}{5}$ C、 $\frac{17}{3}$ D、 $\frac{13}{2}$

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10. 某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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11. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为 $36 π$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，则当三棱锥 $S - A B C$ 的体积最大时， $B S =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、5 D、 $\sqrt{30}$

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12. 对任意 $a \in R$ ，存在 $b \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $e^{a} - l n b = 1$ ，则 $b - a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{e}}{2}$ C、1 D、e

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (8 ， - 8)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 2 ， 16)$ ，则 $c o s θ =$ ．

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14. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ，则 $S_{100} =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + 2 c o s (\frac{π}{2} - x)$ ，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $f (x)$ 是奇函数；
③ $f (x)$ 的值域为 $[- 3 ， \frac{3}{2}]$ ；④ $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增．

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16. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左，右顶点分别为A，B，以AB为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，若 $△ P A F_{2}$ 为等腰三角形，则直线 $P F_{2}$ 的倾斜角的大小为．

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三、解答题

17. 为了解某地区经济发展情况，现对2012年~2021年该地区生产总值y（单位：百亿元）进行了统计，制成如下散点图，其中年份代码x的值1~10分别对应2012年至2021年．
参考数据： $\bar{y} = 15.65$ ， $\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 82.50$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (x_{i} - \bar{x}) = 104.85$ ，
参考公式：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \dots ， (x_{n} ， y_{n})$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；

(2)、若2021年该地区生产总值为2150亿元，在此基础上根据（1）中的模型预测，2022年该地区生产总值能否实现5%的增长目标？

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18. 在① $a s i n C = 4$ ， ② $a + b + c = 6 \sqrt{2}$ ， ③ $a c = 8$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，判断 $△ A B C$ 的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列， $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ﹐_______？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 如图，在直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点E，F分别为 $A_{1} B_{1}$ ， BC的中点，点G是线段AF上的动点．

(1)、确定点G的位置，使得平面 $A C_{1} E / /$ 平面 $B_{1} C G$ ，并给予证明；

(2)、在第（1）题的条件下，若 $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ，求二面角 $G - A C_{1} - E$ 的余弦值．

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20. 在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动点M满足 $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$

(1)、求动点M的轨迹E的方程；

(2)、设过点 $N (0 ， t)$ 的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得 $\frac{1}{{| N C |}^{2}} + \frac{1}{{| N D |}^{2}}$ 为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e x + a x (1 - l n x)$ ．

(1)、若 $a = 0$ 时，过点 $(0 ， 0)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线l，求l的方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取极小值，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \sqrt{2} c o s α ， \\ y = - 2 + 2 \sqrt{2} s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半箱为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为 $(2 ， \frac{3 π}{2})$ ，直线l的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) + 1 = 0$ ．

(1)、求点M的直角坐标和直线l的直角坐标方程；

(2)、若N为曲线C上的动点，求 $M N$ 的中点P到直线l的距离的最小值及此时点P的极坐标．

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23. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2$ ．求证：

(1)、 $3 a^{2} + b^{2} \geq 3$ ；

(2)、 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b} \geq 3$ ．

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