陕西省西安地区八校2022届高三下学期理数5月联考试卷

试卷更新日期：2022-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $B = {x | x \geq a}$ ， $A ∩ B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $[0 ， 1]$

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2. 复数 $\frac{3 + i}{1 + 2 i}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{51} = 92$ ， $a_{26} = a_{30} - a_{7}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前100项和 $S_{100} =$ （）

A、9100 B、9300 C、9500 D、10300

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4. 设 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b - c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、C为直角的直角三角形 C、C为顶角的等腰三角形 D、A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形

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5. 已知函数 $f (x - 1)$ 是偶函数， $f (x + 1)$ 的图象关于直线l对称，则直线l的方程为（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 1$ D、 $x = 2$

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6. 甲、乙两人约定某日上午在 $M$ 地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{3}{8}$

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7. 执行图示程序框图，则输出的 $a$ 的值为（）

A、36 B、54 C、90 D、162

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8. 已知某几何体的三视图如图所示，三个视图的外轮廓为矩形和正方形，则该几何体的侧面面积最大的面的面积为（）

A、9 B、 $7 \sqrt{5}$ C、 $8 \sqrt{13}$ D、 $\frac{27}{2}$

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9. 已知不等式 $s i n x c o s x - c o s^{2} x + \frac{1}{2} + m \geq 0 (m \in R)$ 对 $\forall x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 恒成立，则m的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 在直角坐标系xOy中的三点 $M (m ， 3)$ ， $N (4 ， n)$ ， $E (2 ， - 2)$ ，若向量 $\vec{O M}$ 与 $\vec{O N}$ 在向量 $\vec{O E}$ 方向上的投影相等，则m与n的关系为（）

A、 $m + n = 7$ B、 $m - n = 3$ C、m=n D、 $m = - n$

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，左顶点为A，虚轴的一个端点为B，若 $∠ A F B = \frac{π}{6}$ ，则双曲线C的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = l n 2^{- x} - x^{3}$ ，则不等式 $f (3 - x^{2}) > f (2 x - 5)$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 4) ∪ (2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设变量y与x的回归模型A、模型B、模型C相应的相关系数r的值分别为0.28、0.35、0.3，则拟合效果最好的是模型.

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14. 已知 $960 x^{3}$ 是 ${(2 x - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的某一项，则实数 $a$ 的值为.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 5^{n} + c$ ，令 $b_{n} = \frac{25}{16} a_{n}^{2} + c$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} =$ .

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16. 已知命题p：不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 4 \leq 0 ， \\ x + 3 y - 9 \leq 0 ， \\ x + 3 \geq 0 ； \end{array}$ 命题q： $x^{2} + y^{2} \leq r^{2} (r > 0)$ ，若p是q的充分条件，则r的取值范围为.

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三、解答题

17. 如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点， $A B = 2$ ， $B C = A E = 3$ ， $C D = D E = 5$ .

(1)、若 $B E = 2$ ，求 $t a n (∠ A B E + ∠ B E A)$ 的值；

(2)、若 $∠ B C D = 120 °$ ，求BE的长.

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18. 2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，已知这三种商品都能抢购成功的概率为 $\frac{1}{32}$ ，至少一种商品能抢购成功的概率为 $\frac{23}{32}$ .

(1)、①求 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 的值；
②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.

(2)、求张某抢购成功获得的优惠总金额 $X$ 的分布列和数学期望.

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19. 如图（1），在正方形 $A B C D$ 中， $M$ 、 $N$ 、 $E$ 分别为 $A B$ 、 $A D$ 、 $B C$ 的中点，点 $P$ 在对角线 $A C$ 上，且 $\frac{C P}{P A} = \frac{3}{5}$ ，将 $△ A M N$ 、 $△ B M C$ 、 $△ D N G$ 分别沿 $M N$ 、 $M C$ 、 $N C$ 折起，使 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点重合（记为 $F$ ），得四面体 $M N C F$ （如图（2）），在图（2）中.

(1)、求证： $E P ∥$ 平面 $F M N$ ；

(2)、在 $N C$ 上，求一点 $H$ ，使二面角 $N - M F - H$ 的大小为 $45 °$ .

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20. 已知抛物线C： $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为 $F_{1}$ ，准线与坐标轴的交点为 $F_{2}$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆S的焦点.

(1)、求椭圆S的标准方程；

(2)、设过原点O的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{1}$ 与椭圆S交于A、B两点， $l_{2}$ 与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = a^{- x + 1} + x^{2} - 2 x + 1 + (x - 1) l n a$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对 $\forall x_{1}$ 、 $x_{2} \in [0 ， 2]$ ，使 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq \frac{1}{a} - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - t - 1 ， \\ y = t + 2 \end{array}$ （t为参数）.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为 $ρ = m c o s θ$ .

(1)、①求直线l的普通方程；
②当曲线S过极坐标系中的点 $M (- 2 ， \frac{π}{3})$ 时，求曲线S的直角坐标方程.

(2)、若直线l与曲线S交于A、B两点，定点 $P (- 1 ， 2)$ ，且 $| P A | \cdot | P B | = \frac{1}{2} {| A B |}^{2}$ .求m的值.

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{| 2 x + 2 | - | x - 3 | + x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域 $M$ ；

(2)、设 $x ， y ， a \in M$ ， $2 x + y = a$ ， $a$ 是 $M$ 中的最小整数，求证： $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 8$ .

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