陕西省2022届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2022-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ y = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}} \cdot N = {x ∣ \frac{x + 1}{x - 3} \leq 0}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 3)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 3]$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $2 (z + \bar{z}) - 3 (z - \bar{z}) = 4 + 6 i$ ，则 $| \frac{z}{i} - 1 | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{15} = 60$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} =$ （）

A、16 B、20 C、24 D、28

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4. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a < b < 0$ ”是“ $| a - 2 | > | b - 2 |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} | = 3$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 4 \vec{b})$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{29}$ C、 $\sqrt{35}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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6. 在2021年日本东京奥运会志愿者活动中，甲、乙等6人报名参加了 $A ， B ， C$ 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加 $A ， B$ 项目，乙不能参加 $B ， C$ 项目，那么不同的志愿者分配方案共有（）

A、52种 B、68种 C、72种 D、108种

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7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x) = A c o s ω x$ 的图象 B、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x) = A c o s ω x$ 的图象 C、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x) = A c o s ω x$ 的图象 D、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x) = A c o s ω x$ 的图象

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8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $\sqrt{5} + \frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{5} + 2$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2} + 2$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$

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9. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x} + x^{2} - c o s x$ ，则不等式 $f (x - 3) - f (2 x - 1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2 ， \frac{4}{3})$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (\frac{4}{3} ， + \infty)$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + ⋯ + (2 n - 1) a_{n} = 2 n$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{2 n + 1}}$ 的前10项和是（）

A、 $\frac{10}{21}$ B、 $\frac{11}{23}$ C、 $\frac{20}{21}$ D、 $\frac{22}{23}$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，若双曲线 $C$ 上存在点 $P$ 使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - 3 a^{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{3} ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(1 ， \sqrt{3}]$

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12. 已知函数 $f (x) = (a + 3) e^{2 x} - (a + 1) x e^{x} + x^{2}$ 有三个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 ${(1 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{2} (1 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}}) (1 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}})$ 的值为（）

A、3 B、4 C、9 D、16

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二、填空题

13. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 为线段 $D E$ 上的一点，且 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + λ \vec{A D}$ ，则实数 $λ =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ 在区间 $(a - 2 ， 2 a + 3)$ 上有最大值，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，直线 $A B_{1}$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的角是 $30 °$ ，若正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积是2，则球 $O$ 的表面积是．

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若以 $M (0 ， - 1)$ 为圆心且与椭圆 $C$ 有公共点的圆的最大半径为 $\sqrt{15}$ ，此时椭圆 $C$ 的方程是．

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三、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $b s i n B - a s i n A = [2 b s i n (A + \frac{π}{6}) - c] s i n C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $s i n C \cdot c o s B$ 的取值范围．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A P B = ∠ B P D = ∠ A P D = 60 ， P B = P D = 4 ， C D = C B = 2 \sqrt{2} ， A P = 6$ ．

(1)、证明： $A P ⊥ B D$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值．

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19. 2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标.2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．截至2019年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1109万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2019年的0.6%，连续8年每年减贫规模都在500万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤，某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．

(1)、求出频率分布直方图中的 $a$ 的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

(2)、现从这50户2019年的家庭人均年纯收入在 $[2 ， 4)$ 之间的家庭中任抽取3户进行调查，进一步了解家庭生活情况，设抽取的家庭人均年纯收入在 $[2 ， 3)$ 的户数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上有一动点 $P (x_{0} ， y_{0}) (y_{0} > 0)$ ，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的切线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ．

(1)、判断线段 $M P$ 的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；

(2)、过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交抛物线 $C$ 于另一点 $N$ ，求 $△ P M N$ 的面积的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = a (x - 1) - x l n x (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，求证： $\frac{l n 1}{2} + \frac{l n 2}{3} + ⋯ + \frac{l n n}{n + 1} \leq \frac{n (n - 1)}{4}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α + 2 s i n α \\ y = c o s α - s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程及直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $A ， B$ 为直线 $l$ 上距离为4的两动点，点 $P$ 为曲线 $C$ 上的动点．求 $△ P A B$ 面积的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x + 1 | (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \leq 7$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2 a^{2} - 2$ 在 $x \in R$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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