黑龙江省齐齐哈尔市2022届高考理数三模理试卷

试卷更新日期：2022-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = i^{3}$ （i为虚数单位），则 $\frac{2}{z} - z^{2}$ 的共轭复数是（）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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2. 设集合 $A = {x ∣ y = \sqrt{x^{3} - 1}}$ ， $B = {x ∣ y = l g (x^{2} - 9)}$ ，则（）

A、 $A = R$ B、 $A ∩ B = \emptyset$ C、 $A ∩ (∁_{R} B) = (- 3 ， 1]$ D、 $A ∪ B = {x ∣ x \geq 1 或 x < - 3}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，“ $B C > A C$ ”是“ $c o s \frac{A}{2} < c o s \frac{B}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y（单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：

月份（x）

5

6

7

8

日平均用电量（y）

1.9

3.4

t

7.1

若y与x线性相关，且求得其线性回归方程 $\hat{y} = 1.78 x - 7.07$ ，则表中t的值为（）

A、5.8 B、5.6 C、5.4 D、5.2

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5. 已知 $s i n α - c o s α = t a n \frac{19 π}{6}$ ，则 $s i n^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $A C = B C = \frac{1}{2} A A_{1}$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 与AC所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{133}}{14}$

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7. 近日，上海疫情形势严峻，市疾控中心在我市四家三甲医院选派多名医护人员支援上海，抗击疫情．其中，需要医生8名，现要求每所医院至少抽调一名医生，则不同的名额分配方法种数为（）

A、36 B、35 C、32 D、30

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为 $\frac{1}{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，且 $∠ C$ 为钝角， $\frac{c}{a}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{3} ， + \infty)$ B、 $(\frac{7}{3} ， + \infty)$ C、 $(\frac{3}{5} ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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9. 已知 $0 < b < a < 1$ ，下列四个命题：① $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $a^{x} > b^{x}$ ， ② $\forall x \in (0 ， 1)$ ， $l o g_{a} x > l o g_{b} x$ ， ③ $\exists x \in (0 ， 1)$ ， $x^{a} > x^{b}$ ， ④ $\exists x \in (0 ， b)$ ， $a^{x} > l o g_{a} x$ ．
其中是真命题的有（）

A、①③ B、②④ C、①② D、③④

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10. 如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1，高为2的圆柱，两端是半径为1的半球组成，现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点 $M (\frac{3 π}{4} ， \frac{3}{2})$ ，其对应的方程为 $| y | = (2 - \frac{1}{2} [\frac{2 x}{π}]) | s i n ω x |$ （ $x \geq 0$ ，其中 $[x]$ 为不超过x的最大整数， $1 < ω < 3$ ）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 $\frac{4 π}{3}$ ，则点N的纵坐标为（）

A、 $\pm \frac{1}{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\pm \frac{1}{2}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，点 $M$ 为椭圆 $E$ 上一点，点 $N$ 在 $x$ 轴上，满足 $∠ F_{1} M N = ∠ F_{2} M N = 60 °$ ，若 $3 \vec{M F_{1}} + 5 \vec{M F_{2}} = λ \vec{M N}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} - 1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6} - 1}{4}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 4)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $k =$ ．

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14. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x \leq 0 ， \\ 2 x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y \geq 0 ， \end{array}$ 则 $\frac{y - 2}{x - 1}$ 的取值范围是．

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的上顶点、下焦点分别为M，F，以M为圆心，b为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若 $∠ A M B = 60 °$ ， AB的中点为Q（Q在第一象限），点P在双曲线的下支上，则当 $| P F | + | P Q |$ 取得最小值时，直线PQ的斜率为．

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16. 已知正实数x，y满足 $e^{1 - 2 y} = (x + 2 y) e^{x}$ ，则 $y + \frac{2 y^{2}}{x} + \frac{x}{y}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 在① $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - 3$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和；② $a_{1} = 1$ ， $a_{n} - a_{n + 1} = a_{n} a_{n + 1}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知数列 ${a_{n}}$ 满足____．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在正整数m，使得 $a_{m} + a_{m + 1}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中的项？若存在，求出m；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．神舟十三号载人飞行任务是中国迄今为止在太空轨道上停留时间最长的一次任务，航天员王亚平成为第一位在太空行走的中国女性．三位航天员在为期半年的任务期间，进行了两次太空行走，完成了20多项不同的科学实验，并开展了两次“天宫课堂”活动，在空间站进行太空授课．神舟十三号的成功引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名学生，对他们的航天知识进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：

(1)、若分别从甲、乙两个班级被抽取的8名学生中各抽取1名，在已知两人中至少有一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲班级学生评分低于80分的概率；

(2)、用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲班级所有学生中，再随机抽取4名学生进行评分细节调查，记抽取的这4名学生中评分不低于90分的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列与数学期望．

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19. 如图所示的斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} B_{1} B$ 是正方形，且点 $C_{1}$ 在平面 $A A_{1} B_{1} B$ 上的射影恰是AB的中点H，M是 $C_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、判断HM与平面 $C A A_{1} C_{1}$ 的关系，并证明你的结论；

(2)、若 $C_{1} H = \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ，求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $H M A_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 已知点F为抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点 $E (x_{0} ， 2)$ 在抛物线C上，且 $| E F | = 4$ ，直线 $l ： y = \frac{1}{2} x + 1$ 交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若直线 $l^{'} ： y = \frac{1}{2} x + m (m \neq 1)$ 交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．

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21. 已知函数 $h (x) = e^{x} - (a + 1) x - b$ ， $a ， b \in R$ ．

(1)、求 $h (x)$ 在 $(0 ， h (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $h (x) \geq 0$ 恒成立，求 $\frac{b}{a + \frac{1}{e} + 1}$ 的最大值．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 - \frac{4}{5} t ， \\ y = 4 + \frac{3}{5} t ， \end{array}$ （其中t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $4 \sqrt{2} c o s (θ + \frac{π}{4}) = ρ$ ．

(1)、求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；

(2)、求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x + 1 |$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x) \leq 3 x - 2$ 的解集；

(2)、设 $g (x) = x^{2} - 4 x + 4 + a^{2}$ ，若对 $\forall x_{2} \in [3 ， + \infty)$ ， $\exists x_{1} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，求实数a的取值范围．

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月份（x）	5	6	7	8
日平均用电量（y）	1.9	3.4	t	7.1