河南省百所名校2021-2022学年高一下学期数学第四次大联考试卷

试卷更新日期：2022-06-06 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 $(2 ， 1)$ ，则 $| \frac{z}{2 - i} | =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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2. 已知点 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 2 ， 6)$ ，则与 $\vec{A B}$ 方向相反的单位向量是（）

A、 $(3 ， - 4)$ B、 $(- 3 ， - 4)$ C、 $(\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$

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3. 已知向量 $\vec{m} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (1 + c o s 2 x ， s i n 2 x)$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则x的值可能为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则 $l ⊥ m$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} / / \end{array} \end{array} \end{array} β$ C、若 $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m / / α$ D、若 $α \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} / / \end{array} \end{array} \end{array} β$ ，且l与 $α$ 所成的角和m与 $β$ 所成的角相等，则 $l / / m$

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5. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 在复数范围内的两个根，则 $\frac{| x_{1} - x_{2} |}{| x_{1} |} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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6. 已知正三棱柱的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (λ ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 λ ， 2 - 4 λ)$ ， $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $| m |$ 取最小值时，实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{36}{25}$ D、 $\frac{28}{5}$

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8. 已知 $△ A B C$ 的边 $B C$ 的中点为D，点E在 $△ A B C$ 所在平面内，且 $\vec{B D} = 2 \vec{B E} - \vec{B A}$ ，若 $m \vec{C E} + n \vec{A C} = \vec{A B}$ ，则 $m + n =$ （）

A、7 B、6 C、3 D、2

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9. 已知 $\frac{2 i^{2}}{1 + i} = \bar{z}$ ，则复数z在复平面内对应的点在（）

A、实轴上 B、虚轴上 C、第一､三象限的角平分线上 D、第二､四象限的角平分线上

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10. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥ D B$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B = 4$ ， $△ B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，点E为棱 $A B$ 的中点，则三棱锥 $D - B C E$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， E为棱 $C C_{1}$ 上一点，且 $3 E C = C C_{1} = B C$ ，则 $B_{1} C$ 与 $A_{1} E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{11}}{22}$ B、 $\frac{5 \sqrt{11}}{22}$ C、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ D、 $\frac{2 \sqrt{26}}{13}$

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12. 已知球O是某正四面体的外接球，现用一平面截球O，所得截面圆的面积的最大值为 $6 π$ ，则该正四面体的棱长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题

13. 化简： $\frac{1}{2} (2 \vec{a} - \vec{b}) - 3 (\frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b}) + 2 (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ .

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14. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积为 $\frac{\sqrt{3}}{6} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，则 $t a n A =$ .

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15. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形， $P A = \sqrt{2}$ ， $P B = 2$ ， $∠ P A D = 6 0^{∘}$ ，则 $P C$ 的长为.

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16. 设P，E，F分别是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点，且 $B C = C C_{1} = \frac{1}{2} A B = 1$ ， M是底面 $A B C D$ 上的一个动点，若 $D_{1} M$ $∥$ 平面 $P E F$ ，则线段 $B_{1} M$ 长度的最小值为.

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ， $(\vec{a} + \frac{5}{2} \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 1$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量的模.

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18. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2}$ .

(1)、若复数 ${(\sqrt{2} z - m)}^{2} - 2 m$ 在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围；

(2)、若 $z^{2}$ ， $\sqrt{2} z + z^{2}$ 在复平面内对应的点分别为B，C，求 $c o s ∠ B O C$ （点O为坐标原点）.

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19. 在等腰直角三角形 $A B C$ 中，斜边 $A C = 2 \sqrt{2}$ ，现将 $△ A B C$ 绕直角边 $A B$ 所在直线旋转一周形成一个圆锥.

(1)、求这个圆锥的表面积；

(2)、若在这个圆锥中有一个圆柱，且圆柱的一个底面在圆锥的底面上，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为等腰直角三角形，且 $A C = B C = 1$ ，点F在棱 $B B_{1}$ 上，且 $B_{1} F = \frac{1}{2}$ ， $B F = \frac{3}{2}$ ，点D是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $C_{1} D ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、求点A到平面 $C_{1} D F$ 的距离.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $P A = A C = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{2}$ ，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若Q为棱 $P C$ 上一点，且 $P C ⊥ D Q$ ，求二面角 $Q - B D - A$ 的大小.

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22. 2022年是上海浦东开发开放32周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头､旧仓库变身步行道､绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形 $A B C D E$ 所示，线段 $B E$ 处修建步行道， $△ B D E$ 为等腰三角形，且 $∠ C D E = \frac{11 π}{12}$ ， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， $∠ C B D = \frac{π}{4}$ ， $C D = 2 \sqrt{2} k m$ .

(1)、求步行道BE的长度；

(2)、若沿海的 $△ A B E$ 区域为绿化带， $∠ B A E = \frac{2 π}{3}$ ，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积.

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