安徽省皖江名校2022届高三下学期理数最后一卷

试卷更新日期：2022-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {x | 0 < x \leq 5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $B = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A ∩ B = \emptyset$ D、 $A ∪ B = [0 ， 5]$

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2. 若复数 $z_{1} = \sqrt{3} + i$ ， $z_{2} = 1 + \sqrt{3} i$ （i为虚数单位），则 $\frac{z_{2}}{\bar{z_{1}}} =$ （）

A、 $- i$ B、 $\sqrt{3} - i$ C、i D、 $1 - \sqrt{3} i$

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3. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 2 \\ \begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 \\ 4 x - y \leq 4 \end{array} \end{array}$ ，则目标函数 $z = x + 3 y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、14 C、 $\frac{22}{9}$ D、10

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则“ $a_{1} < a_{2}$ ”是“ $q > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的焦距为4，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{21}}{7} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{39}}{13} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{15}}{5} x$

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6. 在北京冬奥会期间，云顶滑雪公园的“冰嫩墩”凭借着“‘冰嫩墩’蹦迪‘冰墩墩’扫雪”等词条迅速出舞动肢体，做出各种可爱的造型，活跃现场气氮．云顶滑雪公园设置了3个“结束区”，共安排了甲、乙、丙、丁4名“冰墩墩”表演人员，每个“结束区”至少有1个“冰墩墩”表演，则可能的安排方式种数为（）

A、18 B、36 C、72 D、576

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7. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在棱 $D D_{1}$ 上，过点 $C$ 作平面 $B M C_{1}$ 的平行平面 $α$ ，记平面 $α$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线为 $l$ ，则 $A_{1} C$ 与 $l$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 已知 $x_{1} + 2^{x_{1}} = 0$ ， $x_{2} + l o g_{2} x_{2} = 0$ ， $3^{- x_{3}} - l o g_{2} x_{3} = 0$ ，则（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，阿基米德曲线与坐标轴依次交于点 $A_{1} (- 1 ， 0) ， A_{2} (0 ， - 2) ， A_{3} (3 ， 0) ， A_{4} (0 ， 4) ， A_{5} (- 5 ， 0) ， A_{6} (0 ， - 6) ， A_{7} (7 ， 0) ， A_{8} (0 ， 8) ， ⋯$ ，按这样的规律继续下去.则以下命题中，正确的特称命题是（）

A、对于任意正整数 $n ， | A_{n} A_{n + 2} | = 2 n + 2$ B、存在正整数 $n ， | A_{n} A_{n + 1} | = 2022$ C、存在正整数 $n ， | A_{n} A_{n + 1} |$ 为有理数 D、对于任意正整数 $n ， | A_{n} A_{n + 1} |$ 为无理数

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10. 已知函数 $f (x) = | s i n x | + | c o s x | - 2 s i n 2 x$ ，以下结论错误的是（）

A、π是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{3})$ 单调递减 C、 $f (x - \frac{3 π}{4})$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 恰有两个零点

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11. 一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为 $2 π$ 的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$

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12. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 1$ ，若 $f (x)$ 存在零点 $x_{0} < - 1$ ，且满足 $f^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} < 0$ B、 $a b > 0$ C、 $3 a + b < 0$ D、 $a + b > 1$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = \sqrt{5} ， (\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和公比 $q \neq 1$ 的等比数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 2 a_{1} = 2 ， a_{1} + a_{2} = b_{2} ， a_{2} + a_{3} = b_{3}$ ，则 $a_{1} + b_{2} + a_{3} + b_{4} + ⋯ + a_{9} + b_{10} =$ .

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15. 某校年度排球赛中，先进行小组赛，每组胜出的队伍进入决赛争夺冠军.小组赛规则为：每小组三支球队，首先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰出局，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛．若A、B、C三个班级的球队分在同一个小组，每局比赛相互独立且不会产生平局，A队战胜B队的概率为0.3，B队战胜C队的概率为0.5，C队战胜A队的概率为0.6，则A队进入决赛的概率为(保留分数形式)．

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16. 如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中， $C D ∥ A B$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2 A C = 2$ ， $C D = \sqrt{13}$ ， $c o s ∠ B C F$ $= \frac{4 \sqrt{65}}{65}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球表面积为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 1$ ，且 $(s i n A + c o s A) (s i n B + c o s B) = 2 c o s A c o s B$ ．

(1)、求∠C的大小；

(2)、若△ABC的面积 $S ≥ \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ ，求角A的最大值．

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18. 某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．

(1)、从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；

(2)、从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以 $ξ$ 表示这2人中使用AI作业的人数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(3)、从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“ $X = 1$ ”表示该使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“ $X = 0$ ”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“ $Y = 1$ ”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“ $Y = 0$ ”表示该不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）

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19. 如图，圆锥PO的母线长为 $\sqrt{6}$ ， $△ A B C$ 是⊙ $O$ 的内接三角形，平面PAC⊥平面PBC． $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、证明： $P A ⊥ P C$ ；

(2)、设点Q满足 $\vec{O Q} = λ \vec{O P}$ ，其中 $λ \in (0 ， 1)$ ，且二面角 $O - Q B - C$ 的大小为 $60 °$ ，求 $λ$ 的值．

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20. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $P (2 ， 2 \sqrt{2})$ 在抛物线 $E$ 上.

(1)、求抛物线 $E$ 的准线方程；

(2)、过点 $Q (- 2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，直线 $P A$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，直线 $P B$ 交 $y$ 轴于 $N$ ，记直线 $Q M ， Q N$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{2} x^{2} - a x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f' (x_{1}) = f' (x_{2}) = 0$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，证明 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < \frac{a}{2} - 2$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t^{2} - 2 t \\ y = 2 t^{2} + 4 t \end{array}$ (t为参数)．

(1)、求C与坐标轴交点的直角坐标；

(2)、以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 4 a | + m | x - \frac{1}{a} |$ .

(1)、当 $m = 2 ， a = 1$ ，求不等式 $f (x) \leq 15$ 的解集；

(2)、当 $m = 1$ 时，证明： $f (x) \geq 4$ .

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	甲校		乙校
	使用AI作业	不使用AI作业	使用AI作业	不使用AI作业
基本掌握	32	28	50	30
没有掌握	8	14	12	26