安徽省马鞍山市2022届高三下学期理数高考前专家诊断卷（一）

试卷更新日期：2022-06-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 3 x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $N = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $M ∩ (∁_{R} N) =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | - \frac{2}{3} < x < 2}$ C、 ${x | - \frac{2}{3} < x \leq 0}$ D、 ${x | - \frac{2}{3} < x < 0}$

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2. 已知 $z = 1 - 2 i + \frac{1 - a i}{1 + 2 i} (a \in R)$ 是纯虚数，则a＝（）

A、3 B、2 C、-2 D、-3

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3. 某学校为调查学生参加课外体育锻炼的时间，将该校某班的40名学生进行编号，分别为00，01，02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行调查，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取数据，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（   ）
90   84   60   79   80   24   36   59   87   38   82   07   53   89   35   96   35   23   79   18   05   98   90   07 35
46   40   62   98   80   54   97   20   56   95   15   74   80   08   32   16   46   70   50   80   67   72   16   42   75

A、07 B、40 C、35 D、23

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4. 已知 $F_{1}$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，过点 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{1}{3}$ 的直线与E在第一象限交于点P，O为坐标原点，若E的一条渐近线垂直于线段 $P F_{1}$ ，则E的离心率为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{e^{| x |}}{c o s x + x^{4}}$ 在区间[－ $π$ ， $π$ ]上的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，矩形ABCD是圆柱 $O O_{1}$ 的轴截面， $A B = \sqrt{3} B C$ ， E，F为底面圆周上的点，且 $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{E C}$ ， $\overset{⌢}{C F} = \overset{⌢}{F B}$ ， M为CD的中点，则直线AB与平面EFM所成的角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 已知 $a = l o g_{3}^{} 2$ ， $b = l o g_{6} 4$ ， $c = 5^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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8. 已知实数 $m = - \int_{1}^{e} \frac{2}{x} d x$ ，则 ${(x - \frac{m}{x^{2}} - 1)}^{5}$ 的展开式中含 $\frac{1}{x^{2}}$ 的项的系数为（）

A、130 B、110 C、-110 D、-130

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9. 阿基米德多面体是由两种或两种以上正多边形围成的多面体，某阿基米德多面体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $32 + 18 \sqrt{3}$ B、80 C、 $72 + 8 \sqrt{3}$ D、88

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10. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | = | \vec{a} + 3 \vec{b} |$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 4$ ，若向量 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ + μ = 1 ， λ ， μ \in R)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知点A在抛物线E： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，以A为圆心的圆与y轴相切于点B，F为E的焦点，圆A交线段AF于点C，若 $| A C | = 3 | C F |$ ， $| B C | = 1$ ，则E的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{4}$ B、 $x = - \frac{1}{3}$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ D、 $x = - 1$

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12. 法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768—1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数 $y = A s i n ω x (A ， ω \neq 0)$ 之和，若某一乐声的数学表达式为 $f (x) = \frac{3}{4} s i n x + \frac{1}{4} s i n 3 x$ ，则关于函数 $f (x)$ 有下列四个结论：
① $f (x)$ 的一个周期为2 $π$ ；② $f (x)$ 的最小值为－ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；③ $f (x)$ 图像的一个对称中心为（ $\frac{π}{3}$ ， 0）；④ $f (x)$ 在区间（ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ）内为增函数．

其中所有正确结论的编号为（）

A、①③ B、①② C、②③ D、①②④

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二、填空题

13. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 3 y + 3 ⩾ 0 \\ x - y - 1 ⩽ 0 \\ y - 1 ⩾ 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{1}{3} x + y$ 的最大值为．

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14. 设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} a_{2} a_{3} = 27$ ， $a_{5} = 81$ ，若存在 $m \in R$ ，使得 $S_{n} + \frac{27}{2 a_{n}} \leq$ $m - \frac{1}{2}$ 成立，则m的最小值为．

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15. 冰壶（Curling）又称掷冰壶，冰上溜石，是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被大家喻为冰上的“国际象棋”，某省冰壶队选拔队员，甲、乙两队员进行冰壶比赛，获胜者加入省队，采用五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场胜者获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，甲在前一局获胜的情况下下一局获胜的概率为0.6，在前一局失败的情况下下一局获胜的概率为0.4，若第一局甲获胜，则最终乙加入省级冰壶队的概率为．

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16. 已知三棱锥P－ABC的底面ABC为等边三角形．如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，P，F，E三点共线，B，C，E三点共线， $c o s ∠ P C F = \frac{5 \sqrt{13}}{26}$ ， $P C = \sqrt{13}$ ，则PB＝．

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三、解答题

17. 在① $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列，② $S_{5} = 3 (a_{6} - 1)$ ， ③ $. S_{2} + S_{3} = S_{4} - 1$ 中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．
设 $S_{n}$ 为各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知____．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} (2 a_{n} + 1)}{S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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18. 四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD， $P D = P C$ ， $∠ D P C = 9 0^{∘}$ ， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $A D = A B = 1$ ， $B C = 2$ ， M为PC的中点， $\vec{P N} = 2 \vec{N D}$ ．

(1)、证明：A，B，M，N四点共面；

(2)、求二面角M－AB－C的余弦值．

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19. 从2021年10月16日起，中央广播电视总台陆续播出了3期《党课开讲啦》节目，某校组织全校学生观看，并对党史进行了系统学习，为调查学习的效果，对全校学生进行了测试，并从中抽取了100名学生的测试成绩（满分：100分），绘制了频率分布直方图．

(1)、求m的值；

(2)、若学校要求“学生成绩的均值不低于85分”，若不低于要求，不需要开展“党史进课堂“活动，每班配发党史资料，学生自由学习；若低于要求，需要开展“党史进课堂”活动，据以往经验，活动开展一个月能使学生成绩平均分提高2分，达到要求后不再开展活动．请判断该校是否需要开展“党史进课堂”活动，若需要开展，需开展几个月才能达到要求？

(3)、以样本分布的频率作为总体分布的概率，从全校学生中随机抽取4人，记其中成绩不低于85分的学生数为X，求X的分布列和数学期望．

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20. 已知A，B分别为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下顶点，F为C的右焦点， $\vec{A F} \cdot \vec{B F} = 4$ ，点P（2，－1）在C上，且点P关于x轴的对称点为Q．

(1)、求C的方程；

(2)、设O为坐标原点，M，N是C上两动点，其中M在第四象限内且在点P的右侧，PQ平分∠MPN，求证 $∠ M N P = ∠ O P N$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x c o s x + s i n x$ ．

(1)、讨论f（x）在区间[0， $π$ ]上极值的个数；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) < x e^{x} - 2 x + s i n x$ ，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 - 3 t \\ y = 3 t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} (3 + 5 s i n^{2} θ) = 24$ ．

(1)、求l的极坐标方程与C的参数方程；

(2)、点A的直角坐标为（2，0），l与C交于M，N两点，求 $| A M | | A N |$ 的值．

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ．

(1)、若 $2 a + b = 1$ ，证明： $\frac{23}{48} \leq a + 3 b^{2} < 3$ ；

(2)、若 $2 a + b = a b$ ，证明： $4 a + b + a b \geq 10 + 4 \sqrt{6}$ ．

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