浙江省新高考名校交流2022届高三下学期数学5月模拟卷（一）

试卷更新日期：2022-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x > 0} ， B = {x | - 2 < x \leq 1}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${x | x > - 2}$ B、 ${x | x > 0}$ C、 ${x | - 2 < x \leq 0}$ D、 ${x | 0 < x \leq 1}$

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2. 已知 $\frac{2}{1 + i} = 1 + a i$ ，其中 $a \in R$ ， i为虚数单位，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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3. 已知函数 $y = f (x)$ 图象过点 $(1 ， 3)$ ，则“ $y = 3$ ”是“ $x = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的表面积（单位： $c m^{2}$ ）是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10} π}{4} + \frac{3 π}{4} + \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10} π}{4} + \frac{3 π}{4} + 3$ C、 $3 π + \frac{3}{2}$ D、 $3 π + 3$

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5. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} 3 x + y + 1 \geq 0 \\ 2 x + 3 y - 4 \leq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $2 x - y$ 的最小值为（）

A、-3 B、-1 C、0 D、-4

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6. 已知函数 $f (x)$ 的大致图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式可以是（）

A、 $y = \frac{(e^{2 x} - 1) (x^{2} - 1)}{e^{x}}$ B、 $y = \frac{(e^{2 x} - 1) s i n x}{e^{x}}$ C、 $y = \frac{(e^{2 x} - 1) (x^{2} + 1)}{e^{x}}$ D、 $y = \frac{(e^{2 x} - 1) c o s x}{e^{x}}$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{8} = 1$ ，则 $| a_{7} | + 2 | a_{9} |$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知互不相等的三个正数a，b，c，则在 $a + \frac{1}{b} ， b + \frac{1}{c} ， c + \frac{1}{a}$ 三个值中，大于2的个数的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 以 $F_{1} ， F_{2}$ 为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且 $P Q$ 过右焦点 $F_{2}$ ， $Q F_{1} ⊥ Q P$ ，若 $s i n ∠ F_{1} P Q = \frac{5}{13}$ ，则该椭圆离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 中各项都小于1， $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n}$ ，即数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $\frac{1}{2} < S_{100} < 3$ B、 $3 < S_{100} < 4$ C、 $4 < S_{100} < \frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{2} < S_{100} < 5$

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二、填空题

11. 古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是．

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12. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，顶点P在底面 $A B C$ 的投影为O，点O到侧面 $P A B$ ，侧面 $P A C$ ，侧面 $P B C$ 的距离均为d，若 $P O = 2 d$ ， $A B = 2$ ． $C A + C B = 4$ ，且 $△ A B C$ 是锐角三角形，则三棱锥 $P - A B C$ 体积的取值范围为．

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13. 已知 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = | \vec{a} | = 2$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | + | 2 \vec{b} |$ 的取值范围是．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{3}{x} ， x > 0 \\ f (x + 3) ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 4) =$ ，若 $f (a) = f (- 2)$ ，则实数a的最大值为．

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15. 已知多项式 ${(x^{2} - 3 x + 2)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} =$ ， $a_{1} =$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{7} ， A C = 2 ， B C = 3$ ， P是 $△ A B C$ 内一点，且 $A P = 1 ， P A ⊥ P C$ ，则 $∠ A C B =$ ， $s i n ∠ A P B =$ ．

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17. 一个口袋中装有 $n$ 个小球（ $n$ 为正整数）和2个白球，从中有放回的连续摸三次，每次摸出一个球，记三次摸球中恰有一次摸到白球的概率为 $P$ ，则 $P$ 的最大值为，此时 $n$ 为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = - s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n x c o s x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值和最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调区间．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C ， B_{1} C ⊥ A B ， A A_{1} = A B = \sqrt{2} ， A C = 1 ， ∠ B_{1} A C = 4 5^{∘}$ ， F是 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、求 $B_{1} F$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， a_{1}^{2} = a_{2} a_{3}$ 且 $S_{5} = 20$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，数列 ${a_{n}}$ 中的项落在区间 $(3^{m} ， 3^{2 m})$ 内的项数记为 $b_{m} (m \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{m}}$ 的前m项和 $T_{m}$ ．

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，经过抛物线焦点F的直线l与C的交点为 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，不同于点 $P (2 ， 1)$ ．过点P，A，B作C的切线分别为 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ ．

(1)、证明：直线 $l_{2}$ 的方程是 $x_{1} x = 2 (y + y_{1})$ ；

(2)、若 $l_{1} ∩ l_{2} = D ， l_{1} ∩ l_{3} = E ， l_{2} ∩ l_{3} = G$ ，求 $△ D E G$ 面积与 $△ A B G$ 面积之比的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 无极值，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \leq 1$ ，证明 $f (x) > 1 + x l n x$ ．

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