浙江省强基联盟2022届高三下学期数学5月适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x + y | x \in B ， y \in B} ， B = {0 ， 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、{1} D、 $\emptyset$

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2. 抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、1 D、2

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3. 复数 $z = \frac{i}{1 - i}$ （i为虚数单位）的共轭复数在复平面的对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知 $θ \in R$ ，则“ $c o s θ > 0$ ”是“角 $θ$ 为第一或第四象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要

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5. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 \\ 5 x + 2 y \geq 2 \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的取值范围（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $[9 ， + \infty)$

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6. 某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则该几何体的最长的棱长（单位： $c m$ ）是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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7. 函数 $f (x) = - x + l n | x |$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的3个，黄色的3个，蓝色的4个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同的颜色的小球的取法共有（）

A、96种 B、108种 C、114种 D、118种

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9. 平面直角坐标系中有两点 $O_{1} (- 1 ， 0)$ 和 $O_{2} (1 ， 0)$ ，以 $O_{1}$ 为圆心，正整数i为半径的圆记为 $A_{i}$ ，以O₂为圆心，正整数j为半径的圆记为 $B_{j}$ .对于正整数 $k$ （ $1 \leq k \leq 5$ ），点 $P_{k}$ 是圆 $A_{k}$ 与圆 $B_{k + 1}$ 的交点，且 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ， $P_{5}$ 都位于第二象限，则这5个点都在同一（）

A、直线上 B、椭圆上 C、抛物线上 D、双曲线上

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10. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $A S ⊥ A C ， S B ⊥ B C$ ，且 $A C = B C = \frac{1}{2} S C = 1$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

11. 在 $(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5) (x - 6)$ 的展开式中，含 $x^{5}$ 的项的系数是，常数项是.

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12. 已知圆 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 1 (a ， b > 0)$ 与x轴和 $y = x + 1$ 均相切，则 $a =$ ， $b =$ .

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13. 已知 $2 c o s^{2} x - s i n 2 x = A s i n (ω x + φ) + b (A < 0)$ ，则 $A =$ ， $φ =$ .

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14. 已知1是函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + \frac{1}{2} b x^{2} + c x$ 的一个极值点，其中 $a > b > c$ ，则其导函数 $f^{'} (x)$ 有个零点；函数 $y = f (x)$ 的另外一个极值点 $x_{0}$ 的取值范围为.

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15. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2 ， a_{n + 2} = a_{n + 1} - 3 a_{n} ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和，则 $S_{2022} - S_{2021} + 3 S_{2020}$ 的值为.

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16. 已知椭圆C的离心率 $e = \frac{1}{3}$ ，左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， P为椭圆C上一动点，则 $\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |}$ 的取值范围为.

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17. 已知平面内两单位向量 $\overset{⇀}{e_{1}} ， \overset{⇀}{e_{2}} ， 〈 \overset{⇀}{e_{1}} ， \overset{⇀}{e_{2}} 〉 = \frac{π}{3}$ ，若 $\vec{c}$ 满足 $\vec{c} \cdot \vec{e_{1}} - \vec{c} \cdot \vec{e_{2}} = {\vec{c}}^{2} ， | \vec{c} \cdot \vec{e_{1}} | + | \vec{c} \cdot \vec{e_{2}} | \geq \frac{1}{2}$ ，则 ${\vec{c}}^{2}$ 的最小值是.

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三、解答题

18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $s i n A = \frac{1}{4} ， C = 2 A ， B C = 4 ， C D = 2$ .

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、若 $∠ A B D = 60 °$ ，求 $△ A B D$ 的面积.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是一个矩形， $P A = A B = P D = C D = 1$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $△ P B C$ 是等边三角形.

(1)、证明： $B D ⊥ P C$ .

(2)、求直线 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1}$ ､ $a_{3}$ 是方程 $x^{2} - 10 x + m = 0$ 的两个根，且 $a_{4} = 9$ ，求

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对一切实数 $n \in N^{*}$ ，都有 $T_{n} < λ^{2} - λ$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的顶点为O，点P是第一象限内C上的一点，Q是y轴上一点， $P Q$ 为抛物线的切线，且 $| P Q | = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、若 $Q (0 ， - 1)$ ，求抛物线的方程；

(2)、若圆 $C_{1} ， C_{2}$ 都与直线 $O P$ 相切于点P，且都与y轴相切，求两圆面积之和的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x + a) - a e^{x}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 极值.

(2)、设 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的极值点，证明： $- 1 \leq f (x_{0}) \leq 2 | x_{0} | - 1$ .

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