浙江省精诚联盟2022届高三下学期数学5月适应性联考试卷

试卷更新日期：2022-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | - 2 < x < 4}$ ， $B = {x | - 4 \leq x \leq 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | - 4 \leq x < 4}$ B、 ${x | - 4 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 4}$ D、 ${x | - 2 < x \leq 2}$

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2. 已知 $a \in R$ ，若复数 $z = \frac{1 + a i}{1 - i}$ 为实数，则 $a$ 的值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、-1或1

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3. 从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{15}{7}$ B、 $\frac{20}{7}$ C、 $\frac{25}{21}$ D、 $\frac{60}{49}$

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4. 设 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \end{array}$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值为（）

A、6 B、3 C、2 D、1

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5. 函数 $f (x) = s i n x + \frac{2}{1 + 2^{x}}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图和俯视图均是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、4 C、4或 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$ 或4或 $\frac{16}{3}$

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7. 在锐角 $△ A B C$ 中，“ $t a n A t a n B = t a n^{2} C$ ”是“ $C \geq 60 °$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 左、右支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = | B F_{2} |$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3} b^{2}$ ，双曲线 $C$ 的离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $5 + 2 \sqrt{3}$

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9. 已知 $a \in R$ ，函 $f (x) = {\begin{array}{l} x l n x - a x^{2} (x > 0) \\ e^{x} + a x (x \leq 0) \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点， $e$ 为自然对数的底数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2 e})$ B、 $(0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(- \infty ， - e) ∪ (0 ， \frac{1}{2 e})$ D、 $(- \infty ， - e) \cup (0 ， \frac{1}{e})$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{5}{2}$ ， $a_{n}^{2} = 2 + a_{n + 1}$ ，记 $N = 2^{1024}$ ， $T_{10} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot a_{10}$ ，则（）

A、 $T_{10} \in (\frac{1}{4} N ， \frac{1}{2} N)$ B、 $T_{10} \in (\frac{1}{2} N ， \frac{2}{3} N)$ C、 $T_{10} \in (\frac{2}{3} N ， \frac{3}{4} N)$ D、 $T_{10} \in (\frac{3}{4} N ， N)$

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二、填空题

11. “圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为 $O$ ，墙壁截面 $A B C D$ 为矩形，且 $A D = 1$ ，则扇形 $O A D$ 的面积是.

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12. 如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 和 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有种；区域 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 和 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有种.

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13. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ ， $P D$ 的中点， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $P D = A D = 2 B C$ ， $∠ D A B = 90 °$ ，若平面 $P E C ∩$ 平面 $A B F = l$ ，则二面角 $F - l - E$ 的正弦值是.

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14. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 、 $\vec{e}$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ， $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $| \vec{e} | = 1$ ，若 ${\vec{a}}^{2} - 6 \vec{a} \cdot \vec{e} + 8 = 0$ ，则 $\vec{c} \cdot \vec{e} - \frac{1}{3} {\vec{c}}^{2}$ 的最大值是.

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15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq 0 \\ | x + 2 | ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (l o g_{2} 3) =$ ，不等式 $f (x) \geq 2$ 的解集是.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $s i n ∠ B A C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $A D ⊥ A C$ ， $A D = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ，则 $s i n ∠ B A D =$ ， $B D =$ .

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17. 设 $(2 + x)^{n} = a_{0} 2^{n} + a_{1} 2^{n - 1} x + a_{2} 2^{n - 2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ $= b_{0} + b_{1} (\frac{5}{2} + x) + b_{2} {(\frac{5}{2} + x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} {(\frac{5}{2} + x)}^{n}$ （其中 $n$ 为偶数），若对任意的 $k \in {0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ ，总有 $a_{k} \leq a_{4}$ 成立，则 $n =$ ， $b_{0} + b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} =$ .

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x - 2 s i n^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $y = f (x + φ) (φ > 0)$ 为偶函数，求 $φ$ 的最小值.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是正三角形，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为菱形， $∠ C_{1} C B = 6 0^{∘}$ ， $A C = 2$ ， $A C_{1} = 3$ .

(1)、证明： $B C / /$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{1} \cdot 3 + a_{2} \cdot 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} \cdot 3^{n} = \frac{3}{4} (2 n \cdot 3^{n} - 3^{n} + 1)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n + 4}}{2^{a_{n + 1}} \cdot a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot a_{n + 2}}$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} < \frac{1}{4}$ .

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21. 如图，过点 $P (m ， n)$ 作抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别是 $A$ ， $B$ ，动点 $Q$ 为抛物线 $C$ 上在 $A$ ， $B$ 之间部分上的任意一点，抛物线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线分别交 $P A$ ， $P B$ 于点 $M$ ， $N$ .

(1)、若 $A P ⊥ P B$ ，证明：直线 $A B$ 经过点 $(0 ， \frac{p}{2})$ ；

(2)、若分别记 $△ P M N$ ， $△ A B Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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22. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x l n 2 x - x + \frac{a}{2 x} + 2$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $l n x_{1} + 2 l n x_{2} < - \frac{e}{2} - 3 l n 2$ （ $e = 2.71828$ ……为自然对数的底数）.

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