浙江省金丽衢十二校2022届高三下学期数学5月第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 3 ， 5} ， B = {x | x^{2} > 2 x}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 3 ， 5}$ C、 ${3 ， 5}$ D、{-1}

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x} + 3 ， x < 1 \\ l o g_{3} x ， x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{3})) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左焦点的坐标是（）

A、 $(- \sqrt{7} ， 0)$ B、 $(- 3 ， 0)$ C、 $(- 4 ， 0)$ D、 $(- 5 ， 0)$

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4. 已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为 $ξ$ ，则数学期望 $E (ξ)$ 为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、1 D、 $\frac{6}{5}$

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5. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的表面积（单位： $c m^{2}$ ）是（）

A、 $\frac{9}{2} π$ B、 $\frac{9}{2} π + 4$ C、3π D、 $3 π + 4$

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6. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ y \geq - 1 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ B、 $[- 5 ， + \infty)$ C、 $[- 3 ， 6]$ D、 $[\frac{3}{2} ， 6]$

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7. 下列关于平面向量的说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、若 $| \vec{a} - \vec{b} | \leq 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} \geq - 1$ D、若 $\vec{a} + x \vec{b} = y \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，则 $x = 2 ， y = 1$

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8. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = | x - a | - a$ ，则“ $a \geq 1$ ”是“ $\forall x \in [0 ， 1] ， | f (x) | \leq 1$ 成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{(x - a)^{2}}{l n x} (a \in R)$ ，则当 $0 < a < 1$ 时，函数 $f (x)$ （）

A、有1个极大值点，2个极小值点 B、有2个极大值点，1个极小值点 C、有1个极大值点，无极小值点 D、无极大值点，有1个极小值点

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{3} (\sqrt{a_{n}} + 2 a_{n}) (n \in N^{*})$ ．记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $12 < S_{10} < 14$ B、 $14 < S_{10} < 16$ C、 $16 < S_{10} < 18$ D、 $18 < S_{10} < 20$

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二、填空题

11. 若复数z满足： $z (1 + 2 i) = 5 i$ （i是虚数单位），则 $z =$ ．

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12. 已知正实数x，y满足： $x^{2} + x y + \frac{2 x}{y} = 2$ ，则 $3 x + 2 y + \frac{2}{y}$ 的最小值为．

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13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 上三点A，B，C，其中A位于第一象限，且A，B关于原点对称，C为椭圆右顶点．过A作x轴的垂线，交直线 $B C$ 于D．当A在椭圆上运动时，总有 $5 | A C |^{2} \geq | B C | \cdot | C D |$ ，则该椭圆离心率e的最大值为．

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14. 《九章算术》是中国古代张花、耿寿昌等名家所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中有一个经典的“圆材埋壁”问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？今有一道与之类似的问愿如下：已知直线 $l_{1} ： a x - y + 1 = 0 ， l_{2} ： x - 2 y + b = 0$ ，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行且它们的距离为1， $l_{1}$ 与圆C相切， $l_{2}$ 截圆C的弦长为10，则 $a =$ ，圆C的半径为．

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15. 多项式 $(1 + x)^{2} (2 x - 1)^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} =$ ， $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + a_{5} - a_{6} =$ ．

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16. 已知常数 $θ$ 满足 $c o s (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{3} s i n 2 θ$ ，其中 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，函数 $f (x) = 2 s i n (x + θ)$ ，则 $f (x)$ 的最大值为，当 $f (x)$ 取得最大值时， $s i n (x - \frac{π}{4}) =$ ．

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17. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M、N分别是棱 $B B_{1}$ 、 $D D_{1}$ 的中点，P是棱 $A_{1} B_{1}$ 上靠近 $A_{1}$ 的四等分点，过M、N、P三点的平面 $α$ 交棱 $B C$ 于Q，记 $\vec{B Q} = λ \vec{B C}$ ，则 $λ =$ ．若平面 $α$ 将正方体截成两部分体积分别为 $V_{1}$ 、 $V_{2} (V_{1} \geq V_{2})$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ ．

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $(a - b)^{2} = c^{2} - a b$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $s i n (B - A) = c o s C$ ，三角形 $A B C$ 的面积为 $3 + \sqrt{3}$ ，求边长c的值．

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19. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，H在棱 $A B$ 上， $B_{1} H ⊥ A B$ ， $B_{1} B ⊥ B_{1} C_{1}$ ．

(1)、求证： $B_{1} H ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若M为 $A_{1} C$ 的中点，且 $A B = B_{1} H = \frac{2 \sqrt{2}}{3} A A_{1}$ ，求直线 $A A_{1}$ 和平面 $A B M$ 所成角的正弦值．

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20. 已知递增的等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，且 $a_{5} ， a_{8} ， a_{13}$ 成等比数列．数列 ${b_{n}}$ 满足： $3 S_{n} = 2 + b_{n} (n \in N^{*})$ ，其中 $S_{n}$ 为 ${b_{n}}$ 的前n项和．

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} \sqrt{a_{n + 1}} + a_{n + 1} \sqrt{a_{n}}} ， T_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前n项和，是否存在实数 $λ$ ，使得不等式 $T_{n} \leq λ \leq S_{n}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，说明理由．

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21. 如图，已知点A是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，且 $A F$ 垂直于x轴．过A作圆 $B ： (x - 1)^{2} + y^{2} = r^{2} (0 < r < 1)$ 的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于M，N两点，且直线 $A B$ 的斜率为4．

(1)、求抛物线的方程及A点坐标；

(2)、问：直线 $M N$ 是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 a + 6) x + 6 a l n x (a > 0)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、（ⅰ）若 $x = 3$ 是函数 $f (x)$ 的极大值点，记函数 $f (x)$ 的极小值为 $g (a)$ ，求证： $g (a) < 7 - 2 a$ ；
（ⅱ）若 $h (x) = f (x) + x$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．求证： $h (x_{2}) < 0$ ．（提示： $l n 4 < \frac{13}{9} ， l n 5 < \frac{5}{3} ， l n 7 < 2$ ）．

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