浙江省金华市东阳市2022届高三下学期数学5月适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | (x + 1) (x - 2) \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 3}$ D、 ${x | 1 < x < 3}$

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2. 在复平面内，复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、2 D、-2

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3. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、12 B、6 C、4 D、2

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4. 设实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \leq 1 \\ 2 x + y \geq - 1 \\ x - y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - 2 y$ 的最大值（）

A、-5 B、5 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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5. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则 $m ⊥ n$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ， $α ⊥ β$ B、 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α // β$ C、 $m \subset α$ ， $n // β$ ， $α ⊥ β$ D、 $m \subset α$ ， $n ⊥ β$ ， $α // β$

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6. 函数 $y = \frac{x \cos x + \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 将离心率为 $e_{1}$ 的双曲线 $C_{1}$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为 $e_{2}$ 的双曲线 $C_{2}$ ，则

A、对任意的a，b， $e_{1} > e_{2}$ B、当 $a > b$ 时， $e_{1} > e_{2}$ ；当 $a < b$ 时， $e_{1} < e_{2}$ C、对任意的a，b， $e_{1} < e_{2}$ D、当 $a > b$ 时， $e_{1} < e_{2}$ ；当 $a < b$ 时， $e_{1} > e_{2}$

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8. 甲乙两个盒子中有若干个大小相同的球，甲盒子中有4个红球和2个白球，乙盒子中有3个红球和1个白球，同时从甲乙盒子中各取出两个球，并进行交换，交换后，记乙盒中红球个数为 $ξ$ ，则 $E (ξ) =$ （）

A、 $\frac{11}{6}$ B、 $\frac{13}{6}$ C、 $\frac{17}{6}$ D、 $\frac{19}{6}$

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9. 实数a，b满足 $a - 2 \sqrt{b} - 4 \sqrt{a - b} + 1 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\sqrt{5} - 2 \leq a \leq \sqrt{5} + 2$ B、 $9 - 4 \sqrt{5} \leq a \leq 9 + 4 \sqrt{5}$ C、 $2 - \sqrt{3} \leq b \leq 2 + \sqrt{3}$ D、 $9 - 4 \sqrt{5} \leq b \leq 9 + 4 \sqrt{5}$

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10. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1 ， a_{n} = \frac{a_{n + 1}^{2}}{\sqrt{n}} + a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是递减数列 B、数列 ${a_{n + 1} + a_{n}}$ 是递增数列 C、 $\frac{1}{a_{2022}} - \frac{1}{a_{2021}} > \frac{1}{\sqrt{2021}}$ D、 $a_{2022} > \sqrt{2022} - \sqrt{2021}$

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二、填空题

11. 在研究天文学的过程中，约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.已知 $l o g_{3} x = l g y = \frac{1}{5}$ ，则实数x，y的大小关系为， $l o g_{x} 9 =$ .

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12. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 4 ， x \geq 2 \\ | x - a | + 2 ， x < 2 \end{array}$ ， $f (3) =$ ；若 $f (f (2)) = 2$ ，则 $a =$ .

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13. 若多项式 $(x + 2)^{8} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} (x + 1)^{2} + ⋯ + a_{8} (x + 1)^{8}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{2} + a_{3} =$ .

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14. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a s i n B + b s i n A = 4 b s i n A s i n C$ ，且 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = 4$ ，则 $C =$ ； $△ A B C$ 的面积为.

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15. 从0，1，2，3，4，5中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5224，则这样的四位数共有个.

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，上顶点为A，P为第一象限内椭圆上的一点， $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4 | F_{1} F_{2} |$ ，记 $△ P F_{1} O ， △ P A F_{1} ， △ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，若 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ 成等比，则直线 $P F_{1}$ 的斜率是.

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17. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2 ， | \vec{c} | = 1 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的最小值是.

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三、解答题

18. 已知角 $α$ 的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 $P (- \frac{5}{13} ， \frac{12}{13})$ .

(1)、求 $s i n (\frac{3}{2} π + α)$ 的值；

(2)、求值： $s i n (2 α - \frac{π}{6}) + c o s 2 α$ .

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19. 如图，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A C = B C = C C_{1} ， ∠ A A_{1} C_{1} = ∠ C C_{1} B_{1} = 60 °$ .

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、若 $A_{1} C_{1} ⊥ C_{1} B_{1}$ ，求直线 $A B$ 和平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ ，其中 ${a_{n}}$ 为等差数列，且满足 $a_{1} = 1 ， b_{1} = \frac{1}{2} ， b_{2} = 3$ ， $a_{n} b_{n + 1} = a_{n + 1} b_{n} + \frac{4 n^{2} - 1}{2^{n}} ， n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n + 2}}{a_{n} a_{n + 1} 2^{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 1$

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21. 如图，已知抛物线 $C_{1} ： x^{2} = 2 p y (p > 0) ， C_{1}$ 上有一动点 $A (x_{1} ， y_{1}) (x_{1} > 0)$ ， M为y轴上的动点，设 $M (0 ， m) (m \geq \frac{p}{2})$ ，连接 $A M$ 与 $C_{1}$ 交于点B，过B作 $C_{1}$ 的切线交 $A O$ 的延长线于点H，连接 $M H$ 交C于点E，连接 $B E$ 交y轴于点G，分别记 $△ A O M ， △ B M G$ 的面积为 $S_{1} ， S_{2}$ .

(1)、若 $m = \frac{p}{2} ， | A M | = y_{1} + 1$ ，求p；

(2)、若 $p = 2 ， A H ∥ B E$ ，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 是 $(0 ， \frac{1}{4})$ 之间的一个定值（不必求出定值）.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{a} l n x - b x (x > 0 ， a \neq 0 ， b \in R)$

(1)、当 $b = 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a < 0$ 时，若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $\frac{2 - a}{1 - a} < x_{2} \leq - \frac{1}{e a b}$ .

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