浙江省嘉兴市海宁市2022届高三下学期数学5月适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {2 ， 3 ， 5} ， B = {3 ， 4 ， 6}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${2 ， 5}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 已知复数z满足 $i \cdot z = i - 2$ （i为虚数单位），则z的虚部为（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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3. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $l g a + l g b = 0$ ”是“ $a b = 1$ ”的（）.

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知双曲线C的渐近线方程为 $3 x \pm 4 y = 0$ ，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

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5. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积（单位： $c m^{2}$ ）是（）

A、9 B、6 C、3 D、2

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 \\ x + y \leq 2 \\ 3 x - y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = | x - 2 y + 6 |$ 的最大值是（）

A、10 B、7 C、5 D、2

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7. 如图为函数 $f (x) = x^{α} \cdot s i n x ， (α \in R)$ 的部分图象，则 $α$ 的值可能是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3} B C$ ， E，F，G，H分别为边 $A B ， B C ， C D ， D A$ 的中点，将 $△ E B F ， △ G D H$ 分别沿直线 $E F ， H G$ 翻折形成四棱锥 $B^{'} - A E F C ， D^{'} - A C G H$ ，下列说法正确的是（）

A、异面直线 $E B^{'} ， G D^{'}$ 所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{6}]$ B、异面直线 $E B^{'} ， G D^{'}$ 所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{2}]$ C、异面直线 $F B^{'} ， H D^{'}$ 所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{2}]$ D、异面直线 $F B^{'} ， H D^{'}$ 所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{3}]$

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9. 2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形 $P_{1}$ ，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线 $P_{2}$ ；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线， $P_{3} ， P_{4} ， \cdot \cdot \cdot ， P_{n} ， \cdot \cdot \cdot$ ．
设雪花曲线 $P_{n}$ 的边长为 $a_{n}$ ，边数为 $b_{n}$ ，周长为 $l_{n}$ ，面积为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{5} = \frac{1}{27} ， l_{5} = 9 \times {(\frac{3}{2})}^{3}$ B、 $S_{1} \leq S_{3} < \frac{8}{5} S_{1}$ C、 ${a_{n}} ， {b_{n}} ， {l_{n}} ， {S_{n}}$ 均构成等比数列 D、 $S_{n} = S_{n - 1} + \frac{\sqrt{3}}{4} b_{n - 1} a_{n - 1}^{2}$

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10. 平面直角坐标系中，若两点 $S (x_{1} ， y_{1}) ， T (x_{2} ， y_{2})$ ，满足 $| x_{1} - x_{2} | \geq 1$ 或 $| y_{1} - y_{2} | \geq 1$ ，则称点S和点T保持了合理间距．正方形 $O A B C$ 中，顶点 $O (0 ， 0) ， A (3 ， 0) ， B (3 ， 3) ， C (0 ， 3)$ ，动点P，Q都在正方形 $O A B C$ 内（包括边界），且点P在抛物线 $y = x^{2}$ 上，则下列说法错误的是（）

A、若点P与点O，A，B都保持了合理间距，则点P的横坐标的取值范围是 $[1 ， \sqrt{3}]$ B、若点Q与点O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积为6 C、若点Q与点P，O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最大值为6 D、若点Q与点P，O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最小值为 $[1 + \sqrt{3}]$

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二、填空题

11. 直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 的倾斜角为，若位于第一象限的动点 $P (a ， b)$ 在直线 $l$ 上，则 $a b$ 的最大值为．

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12. 已知多项式 $(x - 2)^{5} - (2 x + 1)^{3} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ， $a_{2} =$ ．

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13. 在一次投篮训练中，甲同学每次投篮投中的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙和丙同学每次投篮投中的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，每人各投1次，记 $ξ$ 为三人投中的总次数，则 $P (ξ = 1) =$ ； $E (ξ) =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中，已知 $C A = 1 ， C B = \sqrt{2} ， A - B = \frac{3 π}{4}$ ，则 $t a n B =$ ， $A B =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， x > 0 \\ x^{2} - 4 | x | + 5 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为．

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16. 如图，点F为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，直线 $y = k x$ 分别与椭圆C交于A，B两点，且满足 $F A ⊥ A B$ ， O为坐标原点，若 $t a n ∠ A F O = 2 t a n ∠ A B F$ ，则椭圆C的离心率 $e =$ ．

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17. 平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c} ， \vec{d}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 ， \vec{c} = λ \vec{a} + (2 - λ) \vec{b} (λ \in R) ， | \vec{d} + 4 \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，则 $| \vec{c} + \vec{d} |$ 的最小值为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) ， (ω > 0)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的图像与直线 $y = 2$ 相邻两个交点的距离为 $π$ ，求 $ω$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $ω = 2$ 时，求函数 $g (x) = f (x) \cdot f (x + \frac{5 π}{12})$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值．

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19. 如图，四棱锥 $C - A B E D$ 中， $∠ A C B = 60 ° ， A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B E ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C = A B = B E = \frac{1}{2} A D = 1$ ， F，M，N分别为 $A D ， B C ， E F$ 的中点．

(1)、求证： $M N$ ∥平面 $A C D$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值．

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20. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 2 ， a_{4} ， a_{6} ， a_{9}$ 成等比数列．数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 \cdot b_{n} - 2 (n \in N^{*})$

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为奇数 \\ \frac{a_{n + 1}}{\sqrt{b_{n}}} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点M是抛物线的准线 $x = - 2$ 上的动点．

(1)、求p的值和抛物线的焦点坐标；

(2)、设直线l与抛物线相交于A、B两点，且 $M F ⊥ A B ， A F ⊥ M B$ ，求直线l在x轴上截距b的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - e ， a \in R$ ．（注： $e = 2.71828 ⋯$ 是自然对数的底数）

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 只有一个极值点，求实数a的取值范围；

(3)、若存在 $b \in R$ ，对与任意的 $x \in R$ ，使得 $f (x) \geq b$ 恒成立，求a-b的最小值．

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