浙江省Z20名校联盟2022届高三下学期数学5月第三次联考试卷

试卷更新日期：2022-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知实数集 $R$ ，集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 4} ， B = {x | 3 \leq x \leq 6}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${x | x < 1$ 或 $x \geq 3}$ B、 ${x | 4 < x \leq 6}$ C、 ${x | x \leq 1$ 或 $x \geq 3}$ D、 ${x | 4 \leq x \leq 6}$

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2. 已知复数z满足 $z \cdot i = 5 - 4 i$ （i为虚数单位），则复数z是（）

A、 $4 - 5 i$ B、 $4 + 5 i$ C、 $- 4 - 5 i$ D、 $- 4 + 5 i$

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3. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y + 1 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最大值为（）

A、13 B、11 C、9 D、7

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4. 某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）为（）

A、 $\frac{64}{3}$ B、32 C、 $\frac{160}{3}$ D、64

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5. 设a，b都是不等于1的正数，则“ $l o g_{a} 2 ＜ l o g_{b} 2$ ”是“ $2^{a} ＞ 2^{b} ＞ 2$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $y = x [c o s^{2} (x - \frac{π}{4}) - \frac{1}{2}]$ 在区间 $[- π ， π]$ 上的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 随机变量 $ξ_{i} (i = 1 ， 2)$ 的分布列如下所示，其中 $\frac{1}{2} \leq p_{1} < p_{2} \leq 2$ ，则下列说法中正确的是（）
$ξ_{i}$
-1
0
1
P
$\frac{1}{4 p_{i}}$
$1 - \frac{1}{4 p_{i}} - \frac{p_{i}}{4}$
$\frac{p_{i}}{4}$

A、 $D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ B、 $D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ C、 $E (ξ_{1}) > E (ξ_{2})$ D、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2})$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是线段 $A_{1} C$ （不含端点）上的点，记直线 $M B$ 与直线 $A_{1} B_{1}$ 成角为 $α$ ，直线 $M C$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $β$ ，二面角 $M - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $β < γ < α$ B、 $α < β < γ$ C、 $β < α < γ$ D、 $γ < α < β$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2} ， x \geq 1 \\ - f (2 - x) ， x < 1 \end{array}$ ，若对于任意的实数x，不等式 $4 f (x - a) \leq f (x^{2} + 1)$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ C、 $[- \frac{3}{4} ， + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{4} ， 1]$

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} + \frac{9}{4} (n \in N^{*}) ， a_{1} = 2$ ，记数列 ${\frac{2}{2 a_{n} - 1}}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{101} < 27$ B、存在 $k \in N^{*}$ ，使 $a_{k} = a_{k + 1}$ C、 $S_{101} < 2$ D、数列 ${a_{n}}$ 不具有单调性

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二、填空题

11. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为：“某人行路，每天走的路是前一天的一半，6天共走了378里．”则他第一天走了里路，前四天共走了里路．

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 2 | ， x \geq 0 \\ x + 2 ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f [f (- 2)] =$ ；若 $f (m) = f (m + 2)$ ，且 $m > 0$ ，则 $m =$ ．

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13. 已知多项式 $(2 - x)^{5} (1 + x)^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{9} x^{9}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{9} =$ ， $a_{1} =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中，内角A的平分线与边 $B C$ 交于点D，且 $s i n C = 2 s i n B$ ，则 $\frac{B D}{C D} =$ ；若 $A C = 1$ ， $A D = x (\frac{2 \sqrt{2}}{3} \leq x \leq \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ，则 $c o s A$ 的取值范围是．

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15. 已知实数 $x \geq y > 0 ， z > 0$ ，则 $\frac{2 x + 3 y + 4 z}{2 x + y} + \frac{2 x}{y + 2 z}$ 的最小值为．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是双曲线第一象限上一点，在点P处作双曲线C的切线l，若点 $F_{1} ， F_{2}$ 到切线l的距离之积为3，则双曲线C的离心率为．

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17. 已知平面向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 满足 $| 2 \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}} | = 2$ ，设 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}} ， \vec{b} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $1 \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq 2$ ，则 $| \vec{a} |$ 的取值范围为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x \cdot s i n (x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若对任意 $x \in [t ， \frac{π}{3}]$ ，都有 $| f (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} | \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A B ⊥ C B ， P D ⊥ A C$ ．

(1)、若 $A D ⊥ P C$ ，证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $C D = 2 ， A D = 2 \sqrt{3} ， P A = 6 \sqrt{2} ， P D = 4 \sqrt{3}$ ，求直线 $P B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正切值的最小值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{S_{n}}{a_{n + 1}} = \frac{n}{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = b_{n} + 2^{a_{n}}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{(a_{n} - 1) (b_{n} + 1)}{a_{n} a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 如图，已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 和点 $P (5 ， - 2)$ ，点P到抛物线C的准线的距离为6．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、过点P作直线 $l_{1}$ 交抛物线C于A，B两点，M为线段 $A B$ 的中点，点Q为抛物线C上的一点且始终满足 $| A B | = 2 | Q M |$ ，过点Q作直线 $l_{2} ⊥ l_{1}$ 交抛物线C于另一点D，N为线段 $Q D$ 的中点，F为抛物线C的焦点，记 $△ O N F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ O M F$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1} + S_{2}$ 的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} + a l n x ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(m ， f (m))$ 处的切线斜率为e，求此切线的方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数；

(3)、当 $a = \frac{e - 3}{2}$ 时，证明： $f (x) > - \frac{9}{16} (e - 1)$ ．
注： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数．

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$ξ_{i}$	-1	0	1
P	$\frac{1}{4 p_{i}}$	$1 - \frac{1}{4 p_{i}} - \frac{p_{i}}{4}$	$\frac{p_{i}}{4}$