浙江省“数海漫游”2022届高三下学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \subseteq B}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $ϕ$ B、 ${ϕ}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${ϕ ， {1 ， 2 ， 3}}$

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2. 设非零实数 $a$ ， $b$ 使得曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} = 1$ 是双曲线，则（）

A、 $a + b < 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a b < 0$ D、 $a b > 0$

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3. 已知平面 $α$ 和直线 $l$ 有交点，则“直线 $l$ 与平面 $α$ 垂直”是“平面 $α$ 内存在两条夹角为30°的直线 $m$ ， $n$ ，使得 $m ⊥ l$ 且 $n ⊥ l$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、6 B、 $\frac{20}{3}$ C、 $\frac{22}{3}$ D、 $\frac{23}{3}$

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5. 若复数 $z$ 满足 $z = 2 + z i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数是（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $2 - i$

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6. 函数 $y = | x - c o s x | s i n x$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是两两不相等的非负实数，随机变量 $ξ$ 的分布列是
$ξ$
$a$
$b$
$c$
$P$
$\frac{b + c}{2}$
$\frac{c + a}{2}$
$\frac{a + b}{2}$
则 $E (ξ)$ （）

A、无最小值，无最大值 B、无最小值，有最大值 C、有最小值，无最大值 D、有最小值，有最大值

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8. 已知矩形 $A B C D$ ， $M$ 是边 $A D$ 上一点，沿 $B M$ 翻折 $△ A B M$ ，使得平面 $A B M ⊥$ 平面 $B C D M$ ，记二面角 $A - B C - D$ 的大小为 $α$ ，二面角 $A - D M - C$ 的大小为 $β$ ，则（）

A、 $α < β$ B、 $α > β$ C、 $α + β < \frac{π}{2}$ D、 $α + β > \frac{π}{2}$

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9. 已知抛物线 $C$ ： $y = x^{2}$ ，则使得 $⊙ M$ 经过点 $P (1 ， 1)$ ， $⊙ M$ 和抛物线 $C$ 在 $P$ 处的切线斜率相等，且 $⊙ M$ 和坐标轴相切的点 $M$ 有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 已知等比数列 ${x_{n}}$ 的公比 $q > - \frac{1}{2}$ ，则（）

A、若 $| x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{100} | < 1$ ，则 $\sqrt{| x_{1} |} + \sqrt{| x_{2} |} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{| x_{100} |} < 10$ B、若 $| x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{100} | > 1$ ，则 $\sqrt{| x_{1} |} + \sqrt{| x_{2} |} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{| x_{100} |} > 10$ C、若 $| x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{101} | < 1$ ，则 $\sqrt{| x_{1} |} + \sqrt{| x_{2} |} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{| x_{101} |} < 10$ D、若 $| x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{101} | > 1$ ，则 $\sqrt{| x_{1} |} + \sqrt{| x_{2} |} + \cdot \cdot \cdot + \sqrt{| x_{101} |} > 10$

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二、填空题

11. 中国古代数学著作《九章算术》中记载买鸡问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、鸡价各几何?”设人数为 $x$ ，鸡价为 $y$ ，则 ${\begin{array}{l} 9 x = y + 11 ， \\ 6 x = y - 16 ， \end{array}$ 那么， $x =$ ， $y =$ .

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12. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 2 \\ x + 2 y \leq 11 \\ - x + y \geq 1 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最小值是，最大值是.

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13. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M是边BC中点.若 $∠ B A C = 45 °$ ， $M A = B C = 2$ ，则 $b^{2} + c^{2} + \sqrt{2} b c =$ ， $△ A B C$ 的面积是.

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14. 已知， $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = | x^{2} - 4 π x + 3 π^{2} | + π | c o s x |$ .若不等式 $| f (x) \geq | a x + b |$ 对于任意实数 $x$ 恒成立，则 $a b$ 的最小值是，最大值是.

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15. 已知 $n$ 是正整数，二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式的常数项是 $n$ ，则 $n =$ .

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16. 将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有种.（用数字作答）

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17. 若 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 是棱长为 $1$ 的正四面体棱上互不相同的三点，则 $\vec{P Q} \cdot \vec{Q R}$ 的取值范围是.

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三、解答题

18. 已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P$ ，且点 $P$ 在圆 $C$ ： ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上.

(1)、若 $P$ 点的横坐标为-3，求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $s i n (α + β) = - \frac{1}{2}$ ，求 $s i n β$ 的最大值.

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19. 如图，在四棱台 $A B C D - E F G H$ 中， $A F = B F$ ， $C D = 2 G H$ ， $E F ⊥ E H$ .

(1)、证明： $A B ⊥ D H$ ；

(2)、若 $A B = A E = E H = H D$ ，求直线 $A F$ 与平面 $A D H E$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a_{2} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1} + \frac{a_{n - 1}}{2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{1}}{n} (n \geq 2)$ .

(1)、证明： $a_{n} \geq n$ ， $n \in N^{*}$ ；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < 10$ ， $n \in N^{*}$ .

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21. 如图，已知点 $M$ ， $F$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左顶点和右焦点， $P$ 是 $x$ 轴上一点，且在点 $M$ 左侧，过 $P$ 和 $G (1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D.

(1)、求直线 $l$ 斜率的取值范围；

(2)、记 $M A$ ， MD分别与直线FG交于Q，R两点，求 $△ P Q R$ 面积的最小值.

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22. 已知， $a ， b \in R^{*}$ ，函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 存在.

(1)、若 $f^{'} (x) \leq 1$ 恒成立，证明： $f (a + b) \leq f (a) + b$ ；

(2)、若 $f (x) = (x - \frac{1}{2} x^{2}) (l n x - 1) + \frac{3}{4} x^{2}$ .证明：当 $a < e^{8}$ 时， $| f (\sqrt{a + 1}) - f (\sqrt{a}) | \leq 1$ .注： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数.

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$ξ$	$a$	$b$	$c$
$P$	$\frac{b + c}{2}$	$\frac{c + a}{2}$	$\frac{a + b}{2}$