吉林省吉林市2022届高三下学期理数第三次调研测试试卷

试卷更新日期：2022-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 2 < x < 4}$ ， $B = {x | - 1 < x < 5}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 5}$ B、 ${x | - 2 < x < 5}$ C、 ${x | - 2 < x < 4}$ D、 ${x | - 1 < x < 4}$

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2. 下列函数在其定义域上单调递增的是（）

A、 $y = 2^{x} - 2^{- x}$ B、 $y = x^{- 3}$ C、 $y = t a n x$ D、 $y = l o g_{\frac{1}{2}} x$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，若向量 $\vec{a} = (a_{n} + 1 ， a_{n + 1})$ ，向量 $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，且满足 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = 1$ B、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1 ， n 是奇数 \\ - 2 ， n 是偶数 \end{array}$ C、 $a_{n} = - n$ D、 $a_{n} = n$

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4. 二进制 $100 1_{(2)}$ 转化为十进制数是（）

A、8 B、9 C、16 D、18

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5. 已知两圆方程分别为 $x^{2} + y^{2} = 4$ 和 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ．则两圆的公切线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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6. 在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（）
①矩形 ②圆 ③椭圆 ④部分抛物线 ⑤部分椭圆

A、②③⑤ B、①②③④⑤ C、①②③⑤ D、①②③④

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7. 若函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + a x - 1$ 是R上的单调函数，则实数a的取值范围（）

A、 $a \geq \frac{1}{3}$ B、 $a \leq \frac{1}{3}$ C、 $a > \frac{1}{3}$ D、 $a < \frac{1}{3}$

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8. 位于灯塔A处正西方向相距 $(5 \sqrt{3} - 5)$ n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距 $5 \sqrt{2}$ n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（）

A、30° B、60° C、75° D、45°

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9. 若椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{m} + y^{2} = 1$ ，则“ $m = 4$ ”是“椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{23}{12} ， \frac{29}{12}]$ B、 $[\frac{23}{12} ， \frac{29}{12})$ C、 $(\frac{11}{30} ， \frac{11}{24}]$ D、 $[\frac{11}{30} ， \frac{11}{24})$

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11. 半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则下列说法错误的是（）

A、该几何体外接球的表面积为 $4 π$ B、该几何体外接球的体积为 $\frac{4 π}{3}$ C、该几何体的体积与原正方体的体积比为2：3 D、该几何体的表面积比原正方体的表面积小

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12. 已知 $a = e^{0.1} - 1$ ， $b = s i n 0.1$ ， $c = l n 1.1$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

13. 已知 $x > 2$ ，则 $\frac{4}{x - 2} + x$ 的最小值是．

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14. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点F关于其准线的对称点坐标是．

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15. 中国于2022年2月在北京成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会．共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”已从愿景变为现实，中国各地滑雪场的数量也由2015年的1255家增加到2021年的3100家．下面是2016年至2021年中国滑雪场新增数量和滑雪场类型统计图，下列说法中正确的序号是．
①2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高
②2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升
③2016年至2021年中国滑雪场新增数量逐年增加
④2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多

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16. 已知复数 $z = 1 + i$ ，对于数列 ${a_{n}}$ ，定义 $P_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + \cdot \cdot \cdot + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的“优值”．若某数列 ${a_{n}}$ 的“优值” $P_{n} = {| z |}^{2 n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ；若不等式 $a_{n}^{2} - a_{n} + 4 \geq {(- 1)}^{n} k n$ 对于 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，则k的取值范围是．

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三、解答题

17. 如图，在平面四边形APBC中， $A C = B C = 3$ ， $A P = B P$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A P B = 60 °$ ．将△PAB沿AB折起得到三棱锥 $P^{'} - A B C$ ，使得 $P^{'} C ⊥ A C$ ．

(1)、求证： $P^{'} C ⊥$ 平面ABC；

(2)、若点E在棱 $P^{'} A$ 上， $P^{'} E = 2 E A$ ，求二面角 $E - B C - A$ 的余弦值．

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18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a s i n B = b s i n (A + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C$ 的内角平分线交边BC于点D，求 $\vec{A D} \cdot \vec{A C}$ ．

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19. “学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．“学习强国”中有“双人对战”和“四人赛”两项竞赛答题活动，活动规则如下：“双人对战”每日首局胜利积2分，失败积1分，每日仅首局得分；“四人赛”每日首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分，第二局第一名积2分，其余名次积1分，每日仅前两局得分．已知周老师参加“双人对战”答题时，每局比赛获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ；参加“四人赛”答题（每日两局）时，第一局得3分、2分的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，第二局得2分的概率为 $\frac{1}{4}$ ．周老师每天参加一局“双人对战”，两局“四人赛”，各局比赛互不影响．

(1)、求周老师每天参加答题活动总得分为6分的概率；

(2)、求周老师连续三天参加“双人对战”答题总得分 $X$ 的分布列和期望．

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20. 已知点A，B分别为椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点， $\vec{A F_{2}} = 3 \vec{A F_{1}}$ ， P为椭圆上异于A，B的一个动点， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为12．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、已知点 $M (3 ， 0)$ ，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求证：当点P变化时，点N恒在一条定直线上．

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x}$ 的极小值为1．

(1)、求实数a的值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{x} + m (\frac{1}{x^{2}} - 1)$ ．
①证明：当 $0 < m < \frac{1}{2}$ 时， $\forall x \in (0 ， \frac{m}{1 - m})$ ， $g (x) > 0$ 恒成立；
②若函数 $g (x)$ 有两个零点，求实数m的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s a \\ y = s i n a \end{array}$ （a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、写出曲线C的普通方程和极坐标方程；

(2)、设A，B是曲线C上的两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 $\frac{1}{{| O A |}^{2}} + \frac{1}{{| O B |}^{2}}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 3 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 6$ ；

(2)、设 $x \in R$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为M．若实数a，b，c满足 $a + 2 b + 3 c = M$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值．

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