2.2 基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)

试卷更新日期：2022-06-02 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a + b = 1$ ”是“ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知直线 $a x + b y - 1 = 0 (a b > 0)$ 过圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2022$ 的圆心，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、6 D、9

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3. 已知正实数a、b满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{4}{b} + \frac{1}{a}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、9

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4. 已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，命题 $p ： 2 m + n = m n$ ，命题 $q ： m + n \geq 3 + 2 \sqrt{2}$ ，则p是q的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 小李从甲地到乙地的平均速度为 $a$ ，从乙地到甲地的平均速度为 $b (a > b > 0)$ ，他往返甲乙两地的平均速度为 $v$ ，则（）

A、 $v = \frac{a + b}{2}$ B、 $v = \sqrt{a b}$ C、 $\sqrt{a b} < v < \frac{a + b}{2}$ D、 $b < v < \sqrt{a b}$

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6. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a + b \leq 4$ ”是“ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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7. 已知点E是△ABC的中线BD上的一点（不包括端点）.若 $\vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、9

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8. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + c$ （ $x \in R$ ）的值域为 $[0 ， + ∞)$ ，则 $\frac{1}{c} + \frac{4}{a}$ 的最小值为（）

A、-4 B、4 C、8 D、-8

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9. 已知直线 $a x + b y + c - 1 = 0 (b ， c > 0)$ 经过圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 6$ 的圆心，则 $\frac{4}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值是（）

A、2 B、8 C、4 D、9

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10. 已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ .若 $s i n^{2} C = 2 s i n^{2} A - 3 s i n^{2} B$ ，则 $t a n B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{11 \sqrt{5}}{20}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $t a n A = - \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3} a$ ，则 $b c$ 的最小值为（）

A、16 B、 $16 \sqrt{3}$ C、48 D、 $24 \sqrt{3}$

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12. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $l n (2 a) + l n b \geq a^{2} + b^{2} - 1$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

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13. 已知正实数a，b满足 $a^{2} + 2 a b + 4 b^{2} = 6$ ，则a+2b的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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二、多选题

14. 已知a， $b \in R$ ， $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则下列说法正确的为（）

A、ab的最小值为1 B、 $\log_{2} a + \log_{2} b \leq 0$ C、 $2^{a} + 2^{b} \geq 4$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq 2 + \sqrt{2}$

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15. 已知a， $b \in R$ ，则使“ $a + b > 1$ ”成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $a^{2} + b^{2} > 1$ B、 $| a | + | b | > 1$ C、 $2^{a} + 2^{b} > 1$ D、 $\frac{4}{a} + \frac{b + 1}{b} > 10$

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16. 若 $- 1 < a < b < 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ C、 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ D、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

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17. 已知 $2^{a} = 3^{b} = 6$ ，则a，b满足（）

A、 $a < b$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 1$ C、 $a b > 4$ D、 $a + b > 4$

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18. 已知正数a，b满足 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a + b$ 的最大值是 $\sqrt{2}$ B、 $a b$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ C、a-b的最小值是 $- 1$ D、 $\frac{a}{b - 2}$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，点P在线段CD上（P不与C，D点重合），若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ， $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，则实数m＝， $| \vec{A P} |$ 的最小值为．

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a + c = 4$ ，且 $\sin A$ ， $\sin B$ ， $\sin C$ 成等差数列，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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21. 如图所示，在平面四边形ABCD中，若 $A D = \sqrt{2}$ ， $C D = 2$ ， $∠ D = \frac{3}{4} π$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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22. 已知a，b为正实数，且 $a + b = 6 + \frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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23. $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 ° ， A O$ 为 $B C$ 边上的中线， $A O = \sqrt{3}$ ，则 $A B - 2 A C$ 的取值范围是．

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四、解答题

24. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若已知 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积的最大值．

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25. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $(t a n A - s i n C) (t a n B - s i n C) = s i n^{2} C$ ．

(1)、求证： $c^{2} = a b$ ；

(2)、若 $a + b = 3$ ，求 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最小值．

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26. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为 $A C$ 的中点，若 $2 b c o s C = 2 a + c$ ．

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、若 $a + c = 6$ ，求 $B D$ 的最小值．

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