1.3复数-2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）

试卷更新日期：2022-06-02 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知复数 $z_{1} = \frac{1}{i}$ ， $z_{2} = \frac{2}{1 - i}$ ，则复平面内表示复数 $2 z_{1} + z_{2}$ 的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知复数 $z = 1 - i$ ，则 $| 1 + z i | =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 若 $z (1 + i) = 1 - i$ ，则z=（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- i$ D、 $i$

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4. 已知 $a \in R$ ， $(2 + a i) i = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $a$ 等于（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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5. 已知 $z (1 + i) = 2 + i$ ，则在复平面内复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 已知复数 $z = \frac{i}{2 + i}$ ，i为虚数单位，则z的共轭复数为（）

A、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} i$ D、 $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$

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7. $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 互为共轭复数， $z_{1} = 1 - i$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、-2 B、2 C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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8. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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9. 复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(1 ， - 3)$ ，则 $\frac{10}{z} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $- 1 - 3 i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $3 + i$

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10. 复数 $z$ 满足 $z i = 2 + 3 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $2 + 3 i$ D、 $2 - 3 i$

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11. 已知复数 $z = (a + 1) - a i (a \in R)$ ，则 $a = - 1$ 是 $| z | = 1$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 已知i为虚数单位，复数z满足z（1－i）＝4－3i，则|z|＝（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

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13. 设 $i$ 为虚数单位，则复数 $i (3 + i) =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $- 1 - 3 i$

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14. 已知复数z在复平面内的对应的点的坐标为(-2，1)，则下列结论正确的是（）

A、复数z的共轭复数是2-i B、 $z \cdot i^{3} = - 1 + 2 i$ C、 $| z | = 5$ D、 $z^{2}$ 的虚部是-4

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15. 已知 $i$ 是虚数单位，若 $z (1 + i) = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则 $| z + 1 |$ 等于（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、多选题

16. 欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）

A、复数 $e^{i \frac{π}{2}}$ 为纯虚数 B、复数 $e^{i 2}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $e^{i \frac{π}{3}}$ 的共轭复数为 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ D、复数 $e^{i θ} (θ \in R)$ 在复平面内对应的点的轨迹是圆

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17. 若复数 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = - 1 + i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$ B、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ C、若 $z_{1} + m (m \in R)$ 是纯虚数，那么 $m = - 2$ D、若 $z_{1} ， \bar{z_{2}}$ 在复平面内对应的向量分别为 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $| \vec{A B} | = 5$

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18. 已知复数 $z_{1} = a^{2} - 1 + a i$ ， $z_{2} = 1 + (a - 1) i (a \in R)$ ，若 $z_{1} - 2 z_{2}$ 为实数，则下列说法中正确的有（）

A、 $| z_{1} | = \sqrt{13}$ B、 $z_{1} z_{2} = 5 + 5 i$ C、 $z_{2}^{10}$ 为纯虚数 D、 $\frac{{\bar{z}}_{1}}{z_{2}}$ 对应的点位于第三象限

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19. 已知复数z满足 $| z | = | z - 1 | = 1$ ，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（）

A、复数z的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $z^{2} = z - 1$ D、复数z的共轭复数为 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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20. 已知复数 $z_{1} = 1 - 3 i$ ， $z_{2} = 3 + i$ ，则（）

A、 $| z_{1} + z_{2} | = 6$ B、 $\bar{z_{1}} - z_{2} = - 2 + 2 i$ C、 $z_{1} z_{2} = 6 - 8 i$ D、 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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21. 已知复数z的共轭复数是 $\bar{z}$ ， $(1 - i) z = 1 + i$ ， i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、 $z^{2022} = 4$ B、 $z \cdot \bar{z}$ 的虚部是0 C、 $| z \cdot \bar{z} + 2 z | = \sqrt{5}$ D、 $z \cdot \bar{z} + 2 z$ 在复平面内对应的点在第四象限

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22. 已知复数 $z_{1} = 1 - 3 i$ ， $z_{2} = 3 + i$ ，则（）

A、 $| z_{1} + z_{2} | = 6$ B、 $\bar{z_{1}} - z_{2} = - 2 + 2 i$ C、 $z_{1} z_{2} = 6 - 8 i$ D、 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第二象限

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三、填空题

23. 已知i为虚数单位，则复数 $z = \frac{- 1 + 2 i}{1 + i}$ 的实部为．

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24. 若复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则z在复平面内对应的点在第象限．

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25. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{2 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的模为．

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26. 若关于 $x$ 的实系数一元二次方程 $x^{2} - b x + c = 0$ 的一根为 $1 - i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $b + c =$ ．

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27. 已知i是虚数单位，则复数 ${(\frac{1 + i}{\sqrt{2}})}^{4}$ 的模等于.

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28. 在复平面内，复数 $\frac{2 i}{1 - i}$ 对应的点到原点的距离为．

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29. 定义 $z_{1} ， z_{2} \in C$ ， $z_{1} \oplus z_{2} = \frac{1}{4} (| z_{1} + z_{2} |^{2} - | z_{1} - z_{2} |^{2})$ ， $z_{1} \otimes z_{2} = z_{1} \oplus z_{2} + i (z_{1} \oplus i z_{2})$ .若 $z_{1} = 3 + 4 i$ ， $z_{2} = 1 + 4 \sqrt{3} i$ ，则 $| z_{1} \otimes z_{2} | =$ .

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30. 若 $2 + i$ （ $i$ 虚数单位）是实系数一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的根，则 $p + q =$ .

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