广东省汕头市2022届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2022-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集为R， $A = {x | x^{2} - 1 > 0}$ ， $B = {x | x - a < 0}$ ， $(C_{R} A) ∩ B = {x | - 1 \leq x < 0}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、0

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2. 2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（）

A、36 B、24 C、18 D、42

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3. 在△ABC中， $(\overset{⇀}{B C} + \overset{⇀}{B A}) \cdot \overset{⇀}{A C} = {| \overset{⇀}{A C} |}^{2}$ ，则△ABC的形状一定是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - \frac{1}{4}$ ，当 $n > 1$ 时， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ ，则 $a_{2022} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、5 D、 $- \frac{4}{5}$

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5. 下列说法错误的是（）

A、命题“ $\forall x \in R$ ， $c o s x \leq 1$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in R$ ， $c o s x_{0} > 1$ ” B、在△ABC中， $s i n A \geq s i n B$ 是 $A \geq B$ 的充要条件 C、若a，b， $c \in R$ ，则“ $a x^{2} + b x + c \geq 0$ ”的充要条件是“ $a > 0$ ，且 $b^{2} - 4 a c \leq 0$ ” D、“若 $s i n α \neq \frac{1}{2}$ ，则 $α \neq \frac{π}{6}$ ”是真命题

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6. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $s i n (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{16}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{13}{25}$

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7. ${(x^{5} + \frac{\sqrt{x}}{x^{3}})}^{n}$ 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x l n x - x ， x > 0 \\ f (x + 1) ， x \leq 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $2 f (x) - k x + 1 = 0$ 有四个不同的实根，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{6}] ∪ (\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ B、 $[- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{6}) ∪ [\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3}] ∪ (\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3}]$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1}$ 对应的向量为 $\vec{O Z_{1}}$ ，复数 $z_{2}$ 对应的向量为 $\vec{O Z_{2}}$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ B、若 $(\vec{O Z_{1}} + \vec{O Z_{2}}) ⊥ (\vec{O Z_{1}} - \vec{O Z_{2}})$ ，则 $| z_{1} | = | z_{2} |$ C、若 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 在复平面上对应的点关于实轴对称，则 $z_{1} z_{2} = | z_{1} z_{2} |$ D、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$

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10. 关于曲线C： ${(x - m)}^{2} + {(y - m)}^{2} = {(m - 1)}^{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线C一定不过点 $(0 ， 2)$ B、若 $m > 1$ ，过原点与曲线C相切的直线有两条 C、若 $m = 1$ ，曲线C表示两条直线 D、若 $m = 2$ ，则直线 $y = x$ 被曲线C截得弦长等于 $2 \sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + 2 c o s 2 x$ ， $g (x) = f (x) + | f (x) |$ ，若存在 $a \in R$ ，使得对任意 $x \in R$ ， $f (x) \geq f (a)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(a ， a + \frac{π}{2})$ 单调递增 B、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | ≤ \sqrt{5}$ C、 $\exists θ > 0$ ，使得 $g (x)$ 在 $(a ， a + θ)$ 上有且仅有1个零点 D、若 $g (x)$ 在 $(a + θ ， a - \frac{π}{3})$ 单调，则 $θ \in [- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{3})$

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12. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列 ${a_{n}}$ 说法正确的是（）

A、 $a_{12} = 144$ B、 $a_{2022}$ 是奇数 C、 $a_{2022} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{2020}$ D、 $a_{2020} + a_{2024} = 3 a_{2022}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x^{3} + l n x$ 在点 $A (1 ， f (x))$ 处的切线为l，若l与函数 $g (x)$ 相切，切点为 $B (2 ， m)$ ，则 $g (2) + g^{'} (2) =$ ．

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14. 已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F，则E的离心率是．

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15. 某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布 $N (76.3 ， 64)$ ．若 $Y ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，令 $η = \frac{Y - μ}{σ}$ ，则 $η \sim N (0 ， 1)$ ．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为分（结果保留1位小数）
附：若 $η \sim N (0 ， 1)$ ， $P (η ≤ 2.05) \approx 0.98$ ．

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16. 如图，DE是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至 $△ A_{1} D E$ ，当三棱锥 $C - A_{1} B E$ 的体积最大时，四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 外接球O的表面积为；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是．

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四、解答题

17. 已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为∠ABC的角平分线．

(1)、求证： $A D ： A B = C D ： C B$ ；

(2)、若 $B D = 2$ 且 $c = 2 a = 6$ ，求△ABC的面积．

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18. 目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据 $(x_{i} ， y_{i})$ ， $i = 1$ ， 2，3，4，5，…，10， $x_{i}$ 表示连续用药i天， $y_{i}$ 表示相应的临床疗效评价指标A的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y关于x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程： $\hat{y} = 2.50 x - 2.50$ ；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线： $y = \hat{b} l n x + \hat{a}$ 的附近，令 $t = l n x$ ，则有 $\sum_{i = 1}^{10} t_{i} = 22.00$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 230$ ， $\sum_{i = 1}^{10} t_{i} y_{i} = 569.00$ ， $\sum_{i = 1}^{10} {t_{i}}^{2} = 50.92$ ．
附：样本 $(t_{i} ， y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，…，n）的最小二乘估计公式为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ；相关指数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \hat{y})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ，参考数据： $l n 2 \approx 0.6931$ ．

(1)、根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；

(2)、根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．

(3)、根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．
回归模型
模型①
模型②
残差平方和 $\sum_{i = 1}^{10} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$
102.28
36.19

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19. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ 且满足 ${a_{n + 1}}^{2} - a_{n}^{2} = 2 a_{n} + 2 a_{n + 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} + 1 = 3 b_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若在 $b_{k}$ 与 $b_{k + 1}$ 之间依次插入数列 ${a_{n}}$ 中的k项构成新数列 ${c_{n}}$ ： $b_{1}$ ， $a_{1}$ ， $b_{2}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $b_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ ， $a_{6}$ ， $b_{4}$ ， ……，求数列 ${c_{n}}$ 中前50项的和 $T_{50}$ ．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上、下顶点分别为A，B，四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积和周长分别为 $2 \sqrt{3}$ 和8，椭圆的短轴长大于焦距．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、点P为椭圆C上的动点（不是顶点），点P与点M关于原点对称，过M作直线垂直于x轴，垂足为E．连接PE并延长交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为菱形， $P D = A D = 2$ ， E，F分别是PA，PD的中点，过E，F作平面 $α$ 交线段PB，PC分别于点G，H，且 $\vec{P G} = t \cdot \vec{P B}$

(1)、求证： $G H ∥ B C$ ；

(2)、若PD⊥平面ABCD，且二面角 $A - P D - C$ 为 $120 °$ ，二面角 $E - F G - P$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，求t的值．

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22. 已知函数 $f (x) = x - 2 s i n x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 的极值；

(2)、证明：函数 $g (x) = l n x - f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 有且只有两个零点．

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回归模型	模型①	模型②
残差平方和 $\sum_{i = 1}^{10} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$	102.28	36.19